傅立葉級數和訊號頻譜
對於一個確定的時域訊號，我們只需要知道它的函式表示式就可以在任意時刻確定一個訊號，但是各種場景下中我們需要的往往並不是這樣的解析式，因為這些複雜的式子首先難以快速準確地獲得，另外難以進行快速進行分析，其中所蘊含的資訊也難以提取。因此需要一種更高效的工具來進行訊號的分析。
傅立葉級數的三角形式
傅立葉曾提出可以採用三角函式的線性組合表示一個時域上連續週期訊號的想法。後面經過數學家對相關問題的研究得到如下結論：
當週期訊號滿足 $Dirichlet$ 條件，可以**唯一的**用三角函式線性組合來表示，如週期為 $T$ 頻率為 $\displaystyle\omega = {2\pi\over T}$ 可以展開成如下式子：
$$
f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}\big[a_n \cos{(n\omega t)} + b_n \sin{(n\omega t)}\big]
$$
其中
$$
\begin{aligned}
a_0 & = {1\over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \text{d}t\\
a_n & = {2\over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos{(n\omega t)}\text{d}t\\
b_n & = {2\over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin{(n\omega t)}\text{d}t\\
\end{aligned}
$$
$Dirichlet$ 條件為：
1. 一個週期內間斷點有限
2. 一個週期內訊號絕對可積
3. 極大值和極小值的數目是有限的
對於常見的訊號, \(Dirichlet\) 條件都是滿足的，可以不加驗證的使用
如果使用三角公式將同頻正餘弦合併可以得到下面兩種形式：
$$
\begin{aligned}
f(t) & = c_0 + \sum_{n = 0}^{\infty}c_n\cos{(n\omega t + \varphi_n)} \\
f(t) & = d_0 + \sum_{n = 0}^{\infty}d_n\sin{(n\omega t + \theta_n)} \\
\end{aligned}
$$
傅立葉級數不同表示形式下，量值之間的關係：
\[\large
\begin{cases}
& a_0 = b_0 = c_0\\
\\
& c_n = d_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\\
\\
& a_n = c_n\cos{\varphi_n} = d_n\sin{\theta_n}\\
\\
& b_n = -c_n\sin(\varphi_n) = d_n\cos{\theta_n}\\
\\
& \tan{\theta_n} = \displaystyle{a_n \over b_n}\\
\\
& \tan{\varphi_n} = \displaystyle-{b_n \over a_n}\\
\end{cases}
\]
利用上述的數學工具，我們很容易能夠將一個連續的週期訊號轉變為三角函式，並且這個表示式中含有三個未知量————幅值、相位和頻率，並且三者之間存在密切的關係。三個未知量，至少需要兩個關係來描述，容易發現最方便構造數學關係的是幅值和頻率以及相位與頻率的關係，因為頻率一般是個單調的函式，而另外兩者則未必。於是分別得到幅度和頻率的關係和相位和頻率的關係，並分別將他們繪製出來就可以得到一組曲線————幅頻曲線和相頻曲線，分別稱為幅度譜和相位譜。繪製過程中我們發現實際上訊號包含的頻率只在某些特定頻率處取值，這就意味著我們繪製出來的影像是個離散影像，幅度譜和相位譜在這個頻率上都為一個有限值，繪製出來只有一根根線，因此稱為譜線，將每一根譜線頂端連起來，我們就可以看到譜線的大致走勢。
傅立葉級數的復指數形式
上述表示式是一個三角函式表示式，當我們需要求解某一個具體週期訊號的時候需要分別求出\(a_0\)、\(a_n\)和\(b_n\)，這個過程是繁瑣的。
能否找到一個統一的表示式，使得能夠同時求出這三者？
答案是利用尤拉公式
\[e^{j\theta} = \cos(\theta) + j \sin(\theta)
\]
尤拉公式可以在複數域上把三角函式表示為指數函式。
因此我們可以將上面的表示式轉換成復指數的形式，具體過程如下：
\[\begin{aligned}
f(t) = &a_{0}+ \sum_{n = 1}^{\infty} \left( a_{n} \frac{e^{jn\omega t} + e^{-jn\omega t}}{2} + b_{n} \frac{e^{jn\omega t} - e^{-jn\omega t}}{2j}\right)\\
=&a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} ({a_n - jb_n \over 2}e^{jn\omega t} + {a_n + j b_n \over 2}e^{-jn\omega t})\\
\end{aligned}
\]
接下來，我們回過去看 \(a_n\) 與 \(b_n\) 的原始定義(積分表示式)，如果\(n\)是一個整數，而不像前文那樣定義為自然數， 則容易得到\(a_n\) 是偶函式， \(b_n\) 是奇函式。
於是我們不妨定義函式
\[F(n\omega) = {a_n - jb_n \over 2}
\]
結合上面的奇偶性分析有
\[\begin{aligned}
F(-n\omega) & = {a_{-n} - jb_{-n}\over 2} \\
& = {a_{n} + jb_{n}\over 2}
\end{aligned}
\]
我們發現 \(F(n\omega)\) 與 \(F(-n\omega)\) 是共軛的，恰好為複數表示的傅立葉級數的同一頻次的兩項。如果我們定義 \(F(0) = a_0\) ，我們便可以將傅立葉級數的複數形式寫成下面這樣：
\[f(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} (F(n\omega)e^{jn\omega t})
\]
其中：
\[F_n(n\omega) = {1\over T} \int_{t_0}^{t_0 + T} f(t) e^{-jn\omega t}\text{d}t \\
\]
這樣我們求解傅立葉級數將更加方便，不像三角形式那樣需要求解好幾個式子，但是代價就是需要進行復變函式的積分，可能較為繁瑣。
傅立葉指數形式與傅立葉級數中相關引數的關係：
\[\large
\begin{cases}
& F_0 = c_0 = d_0 = a_0\\
\\
& F_n = |F_n|e^{j\varphi_n} = \displaystyle{a_n - jb_n \over 2} \\
\\
& F_{-n} = |F_{-n}|e^{-j\varphi_n} = \displaystyle{a_n + jb_n \over 2} \\
\\
& |F_n| = |F_{-n}| = \displaystyle{1\over 2}c_n = \displaystyle{1\over2}d_n = {1\over2}\displaystyle\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\\
\\
& |F_n| + |F_{-n}| = c_n \\
\\
& a_n = F_n + F_{-n} \\
\\
& b_n = j( F_n + F_{-n} ) \\
\\
& c_n^2 = d_n^2 = a_n^2 + b_n^2 = 4F_n F_{-n}
\end{cases}
\]
由於\(F(n\omega)\) 與 \(F(-n\omega)\) 是共軛的，所以復指數形式的譜圖中幅度譜是左右對稱的偶函式，相位譜是奇函式，並且一般位於二四象限。
值得注意的是在幅度譜中復指數的譜圖中與傅立葉級數譜圖對應位置相比，前者高度為後者的一半，也就是正頻率項和複頻率項相加即為實數形式的譜圖。
注意複頻率的出現主要是數學上的結果，並不具備實際意義。
傅立葉級數與函式對稱性的關係
週期函式的對稱性主要分為兩類：
- 對整週期對稱，如奇函式和偶函式。
- 對半週期對稱，奇諧函式。
偶函式
定義：
\[f(t) = f(-t)\\
\]
影像上：關於座標軸對稱
對於偶函式存在下列結論：
\[\large
\begin{cases}
a_{n}= \frac{4}{T}\displaystyle\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos{ (n\omega t )}\text{d}t \\ \\
b_{n} = 0 \\ \\
c_{n} = d_{n} = a_{n} = 2 F_{n} \\ \\
F_{n} = F_{-n} = \displaystyle\frac{a_{n}}{2} \\ \\
\varphi_{n} = 0 \\ \\
\theta_{n} = \displaystyle\frac{\pi}{2} \\ \\
\end{cases}
\]
結論：偶函式的傅立葉級數展開中僅包含餘弦項，不包含正弦項。並且復指數形式為實函式。
奇函式
定義：
\[f(t) = -f(-t)
\]
影像上：關於原點對稱
奇函式相關的結論 ：
\[\large
\begin{cases}
a_{0} = 0,a_{n} = 0 \\ \\
b_{n} = \frac{4}{T} \displaystyle \int_{0}^{\frac {T}{2}} f(t)\sin(n\omega t) \text{d}t\\ \\
c_{n} = d_{n} = b_{n} = 2 j F_{n}\\ \\
F_{n} = -F_{-n} = - \frac{1}{2} j b_{n}\\ \\
\varphi_{n} = -\frac{\pi}{2}\\ \\
\theta_{n} = 0\\ \\
\end{cases}
\]
結論：奇函式的 \(F_{n}\) 為虛擬函式。奇函式的傅立葉級數中不存在餘弦項，只存在正弦項。若是奇函式再加上一個直流分量，則除了 \(a_{0}\) 不為 \(0\) ，其他結論不存在任何變化。
（三）奇諧函式
定義：
\[f(t) = -f\left( t \pm \frac{T}{2} \right)
\]
影像上：平移半週期再沿著x軸翻轉後與原函式重合
奇諧函式相關結論：
\[\begin{cases}
a_{0} = 0 \\ \\
a_{n} = b_{n} = 0 \qquad (n \text{為偶數}) \\ \\
a_{n} = \displaystyle \frac{4}{T} \displaystyle \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin(n \omega t ) \text{d} t \qquad (n \text{為奇數})\\ \\
a_{n} = \displaystyle \frac{4}{T} \displaystyle \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos(n \omega t ) \text{d} t \qquad (n \text{為奇數})\\ \\
\end{cases}
\]
結論：
奇諧函式不存在偶數頻次的諧波，僅存在奇次諧波的正弦和餘弦項。
或許你在思考為什麼上面的分類中半週期對稱性僅僅說了奇諧函式，為什麼沒有說偶諧函式呢？
這個問題問得好，因為仿照奇諧函式的定義寫出偶諧函式，我們可以發現偶諧函式就是週期是原函式一半的週期函式，原函式確定的情況下傅立葉級數是唯一的，因此我們把它放在討論中的第一類，也就是整週期對稱性。
帕塞瓦爾定理
帕塞瓦爾定理是個廣泛存在於訊號分析各種變換之間的定理，一般結論是，能量訊號(能量是個有限值)在時域上的能量和頻域上的能量是相等的，功率訊號(功率是個有限值)在時域上的功率和頻域上的功率是相等的。
對於這裡的連續週期訊號，往往能量不是有限的，功率是個有限值，也就是是功率訊號，它的功率等於傅立葉級數展開後各分量有效值的平方和。
典型週期訊號的傅立葉變換
（一）週期矩形脈衝訊號
設週期矩形脈衝訊號 \(f(t)\) 的脈衝寬度為 \(t\) 週期為 \(T\) ，脈衝幅度為 \(E\) ，則他的傅立葉級數展開形式如下：
\[\large
\begin{cases}
a_{0} = \frac{{E\tau}}{T}\\ \\
a_{n} = \frac{{2 E \tau}}{T} \text{Sa}\left( \frac{{n \pi \tau}}{T} \right) = \frac{{E \tau \omega}}{\pi} \text{Sa}\left( \frac{{n\omega\tau}}{2} \right)\\ \\
b_{n} = 0\\ \\
F_{n} = \frac{{E \tau}}{T} \text{Sa} \left( \frac{{n\omega \tau}}{2} \right)\\ \\
c_{n} = a_{n}\\ \\
c_{0} = a_{0} \\
\end{cases}
\]
結論：
- 週期矩形脈衝的頻譜是離散的，重複週期週期越大，譜線越靠近。
- 直流分量，和各頻次分量的大小與脈幅和脈寬成正比，與重複週期成反比
- 週期訊號包含無窮多譜線，其中能量主要集中在第一次過零點內，也就是 \(\omega < \displaystyle{\frac{{2\pi}}{\tau}}\) 內
我們稱這樣的區域為頻帶，頻頻寬度為 \(B_{\omega} = \displaystyle\frac{{2\pi}}{\tau}\) 或者 \(B_{f } = \displaystyle\frac{1}{\tau}\) ，頻頻寬度只與脈寬有關，並且成反比。
對稱方波訊號也是矩形訊號的一種特殊情況：
- 它是正負交替的訊號，其直流分量 \(a_{0}\) 等於零
- 他的脈寬恰好等於週期的一半，即 \(\tau = \displaystyle\frac{T}{2}\)
對稱方波的傅立葉級數形式為：
\[\begin{aligned}
f(t) & = \frac{{2E}}{\pi} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left( \frac{{n\pi}}{2} \right) \cos({n \omega t})\\
& = \frac{{2E}}{\pi} \left[ \cos({\omega t}) + \frac{1}{3} \cos(3\omega t +\pi) + \frac{1}{5} \cos({5\omega t}) + \cdots \right]
\end{aligned}
\]
對稱方波的諧波幅度以 \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 收斂。
（二）週期鋸齒脈衝訊號
峰值和谷值分別為 \(\displaystyle \pm\frac{E}{2}\) ，週期為 \(T\) ，訊號是奇函式，因此傅立葉級數僅存在正弦分量。 諧波幅度以 \(\displaystyle\frac{1}{n}\) 的規律收斂。
\[f(t) = \frac{E}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \sin({n \omega t}).
\]
（三）週期三角脈衝訊號
峰值為 \(E\) 谷值為 \(0\) ，週期為 \(T\) ，是偶函式，僅存在餘弦分量。
\[\begin{aligned}
f(t) & = \frac{E}{2} + \frac{4E}{\pi^{2}} \left[ \cos(\omega t) + \frac{1}{3^{2}}\cos({3\omega t}) + \frac{1}{5^{2}} \cos({5 \omega t}) +\cdots \right]\\ \\
& = \frac{E}{2} + \frac{4E}{\pi^{2}}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \sin^{2}\left( {\frac{n\pi}{2}} \right) \cos({n \omega t}) \\
\end{aligned}
\]
（四）週期半波餘弦訊號
偶函式，僅存在直流、基波和偶次諧波頻率分量，諧波的幅度以 \(\displaystyle \frac{1}{n^{2}}\) 規律收斂。
\[\begin{aligned}
f(t) & = \frac{E}{2} + \frac{E}{2} \left[ \cos({\omega t}) + \frac{4}{3\pi} \cos({2 \omega t}) - \frac{4}{15\pi} \cos({4 \omega t}) +\cdots \right] \\ \\
& = \frac{E}{\pi} - \frac{2E}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n^{2}-1)} \cos\left( \frac{{n\pi}}{2} \right) \cos(n \omega t).\\
\end{aligned}
\]
（五）週期全波餘弦訊號
週期全波餘弦只包含直流分量和偶次諧波分量，諧波的幅度以 \(\displaystyle{\frac{1}{n^{2}}}\) 規律收斂 。
\[\begin{aligned}
f(t) & = \frac{2e}{\pi} + \frac{4E}{\pi} \left[ \frac{1}{3}\cos({2 \omega t}) - \frac{1}{15}\cos({4 \omega t}) + \frac{1}{35} \cos({6 \omega t}) \right]\\ \\
& = \frac{2E}{\pi} + \frac{4E}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(4n^{2} -1 )} \cos(2n \omega t)\\
\end{aligned}
\]
對於上述週期函式，週期矩形脈衝訊號是最重要的一個，需要進行仔細研究。
傅立葉級數舉例和有限項逼近是帶來的誤差
實際工程中，我們無法做到將傅立葉級數展開到無窮項，我們只能展開到有限項。有限項算出的結果與真實值之間到底存在多少的誤差是我們關心的。
誤差即為後面無窮項之和：
\[\epsilon_{N}(t) = \sum_{n = N}^{\infty}[ a_{n} \cos(n\omega t) + b_{n} \sin(n \omega t)]
\]
方均誤差為：
\[\begin{aligned}
E_{N} = \overline{ \epsilon_{n}^2(t) } & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} \epsilon_{N}(t)^2 \text{d}t \\
& = \overline{f^2(t)} - \bigg[a_{0}^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N}(a_{n}^2 + b_{n}^2) \bigg]\\
\end{aligned}
\]
下面，我們選擇週期為2，幅值為1的週期矩形脈衝訊號。
| 成分 |
影像 |
| 展開至基波 |
 |
| 展開至3次諧波 |
 |
| 展開至5次諧波 |
 |
| 展開至7次諧波 |
 |
| 展開至9次諧波 |
 |
| 展開至11次諧波 |
 |
透過觀察上面的一組影像，我們可以發現如下規律：
- 傅立葉級數取的次數越多，最後的波形越接近原訊號
- 高頻訊號主要影響的是訊號中變化快速的部分；如訊號為脈衝訊號時，高頻訊號主要影響的是脈衝的跳變沿
- 低頻訊號主要影響的是訊號中緩慢變化的部分；如訊號為脈衝訊號時，低頻訊號主要影響的時脈衝的頂部
- 當訊號中任意頻譜分量的幅值或者相位發生變化時，輸出波形一般會失真，如在影像處理的時候，我們發現兩張圖片頻譜的幅度不變，相位譜圖互換後疊加，影像本身基本未發生改變，但是細節上稍微有些不同。
另外我們注意到一個有趣但又讓人苦惱的地方。週期矩形脈衝訊號的跳變邊沿處有一個小的峰起，並且無論取多少項，這個峰起並沒有因取的傅立葉級數項數變多而明顯減小。
關於這樣一個問題，訊號分析中稱其為 \(Gibbs\) 現象。具體內容為：
在進行有限項傅立葉級數逼近時，隨著採用更多的傅立葉級數成分或分量，傅立葉級數在接近（完整）跳躍的約\(9%\)的跳躍點附近顯示出振盪行為中的第一個超調，並且該振盪不會消失，而是越來越接近該點，使得振盪積分接近零（即振盪能量為零）。