這篇部落格是Micheal Huth和Mark Ryan寫的《電腦科學中的邏輯》這本書的一個簡單介紹[1]。它會講到書裡第一章的前五個部分。為了讓事情簡單點，這個介紹寫得很隨意。所以，書裡很多複雜的定理和證明這裡都沒提。
陳述句
我們檢查程式對不對，主要就是想看看程式程式碼是不是按照我們想的那麼執行。有很多方法可以做到這一點：
- 你可以寫一堆測試，看看程式在不同情況下是不是正常工作。
- 你也可以寫個模糊測試器，用隨機輸入不停地跑程式，確保它不會出錯。等等。
但這些方法的問題是，總有點不確定。你怎麼能確定只用幾個測試就能保證程式完全沒問題呢？可能有些情況你沒測到，結果就出錯了。
這就是形式化方法的好處：它們不會給錯誤留任何機會，可以用來檢查程式是不是總是按我們想的那麼執行。
不過，要用這些方法，我們首先得有個非常詳細的程式說明。這些方法之所以叫“形式化”，是因為它們用數學技術來驗證程式對不對。所以，我們需要一個程式說明，這樣我們才能嚴格地提出和證明我們的觀點。
我們可能會本能地用自然語言來寫這個說明。畢竟，用自然語言描述東西對我們來說很自然：這就是你和朋友聊天或和同事爭論的方式；我們習慣用這種方式表達和思考。但是，自然語言不適合寫程式說明——這樣做就像用畫筆的毛來擰螺絲一樣。問題是自然語言太複雜，太模糊了。想想這句話：
男人用望遠鏡看見了女人 |
這句話可以有兩種理解：
- 男人透過望遠鏡看到了女人。
- 男人看到了一個拿著望遠鏡的女人。
在現實生活中，我們通常會根據上下文猜出正確的意思，或者讓對方解釋清楚。但
是，在做數學論證時，絕對不能有歧義，所以我們需要別的東西：一種更簡單的語言，可以清楚地表達我們的意思，一種有明確規則並且可以推理的語言。
如果我們想讓計算機自動幫我們做這種正確性檢查，那麼它得足夠嚴格，這樣我們才能寫程式來驗證和處理這種語言裡的句子。
雖然自然語言不適合做這個，但它很熟悉。所以，我們先從思考開始，看看能不能想出更簡單的東西。
我們通常用陳述句來論證；這些句子描述了世界的一些事情。比如，看看下面兩個英文句子：
如果下雨而我沒有帶傘，那我就會被淋溼。下雨了，但我沒被淋溼。 |
和
如果一個矩陣是方陣，且其行列式不為零，則該矩陣是可逆的。該矩陣是方陣，但不可逆。 |
你能從這些句子中推斷出什麼？你會怎麼證明？雖然這兩個句子說的東西完全不同（一個是常識，另一個是關於線性代數），但它們的結構是一樣的，論證的結構也一樣。
比如，從第一句話我們可以提出這個論點：
我沒有被淋溼。所以，下雨而我沒有帶傘這不可能是真的。既然我知道下雨了，那就意味著我帶了傘。
同樣，從第二句話開始，我們可以幾乎一樣地重複這個論點，只需要換幾個詞！
該矩陣不可逆。所以，它是方陣且行列式不為零的說法不成立。因為我知道它是方陣，所以行列式一定為零。
另外，如果我們忽略句子的實際意思，只關注它們的結構（並對我們剛剛提出的論點做同樣的事情），你會發現它們是一樣的：
- 如果 x 且不是 y，則z
- 不是 z，且 x， 所以y
所以現在我們知道了，我們感興趣的不是句子的內容，而是它們的邏輯結構，因為這是我們可以推理的。我們可以用這些陳述句描述我們喜歡的任何東西，然後用它們的結構提出合理的論證。
主要思想總結：
- 為了驗證程式的正確性，我們需要對其行為進行可論證和推理的描述。
- 自然語言不適合寫這些說明，因為它複雜且含糊不清。
- 在自然語言中，我們用陳述句來描述世界，並用它們的結構來進行論證。
命題邏輯
正如剛才展示的，我們可以用陳述句來描述世界，並且為了推理這些描述，我們需要處理這些句子的結構。但是，我們還在用自然語言，這意味著還是有一些問題。比如，看看下面三個句子：
- 我今天沒有做飯，但是冰箱裡還有剩菜。
- 冰箱裡有剩菜，今天我又沒有做飯。
- 因為冰箱裡還有剩菜，所以今天我沒有做飯。
它們都傳達相同的資訊。這三個句子之間的唯一區別在於向讀者呈現資訊的方式。在對話環境中，這些細微的差異非常重要，但就我們的目的而言，我們並不關心。對我們來說，所有這些變化只會使語言更難使用。
想象一下，編寫一個程式或解析器來提取這些資訊會有多難，即使是對於簡單的英語句子！所以，我們的語言應該有更簡單的語法，並且只關注資訊的結構。記住上一節中的內容，我們實際上並不需要知道這些“陳述句”究竟在講述什麼。
所以我們將用單個字母來表示無法進一步分解的陳述：命題原子。
它們可以是真，也可以是假。然後，我們將用一組連線詞將這些命題原子連線成更有趣的公式。以下是規則，並附有一些例子：
假設第一個命題原子 p表示“現在是冬天”。假設第二個命題原子 qq表示“天氣很冷”。那麼：
連線詞 ∧ 類似於英語中的“and”。它表示兩邊的陳述或公式都是真的。
- 比如，p∧q表示“現在是冬天，天氣很冷”。
- 連線詞本身稱為“連詞”，兩邊的東西稱為“連詞”。
- 當且僅當兩個連詞都為真時，整個連詞才為真。
類似地，∨類似於英語中的“或”。它表示至少有一個陳述為真。
- p∨q 表示“現在是冬天或天氣很冷”。
- 該操作稱為析取，兩側的公式稱為“析取”。
- 如果至少有一個析取為真，則整個析取為真。
¬ 是所有運算子中唯一一個不真正將兩件事聯絡在一起的運算子 - 它只是反轉一個公式，就像英語中的“not”一樣。
- 比如，¬p的意思是“現在不是冬天”。
- 這個操作稱為否定，如果你要否定的東西是假的，那麼它就是真的。
最後一個聯結詞是 →→，稱為“蘊涵”。它就像英語中的“如果……那麼……”，所以順序很重要！比如，p→qp→q 表示“如果是冬天，那麼天氣很冷”，而 q→pq→p 表示“如果天氣很冷，那麼天氣就是冬天”。
- 箭頭左側的公式稱為“前件antecedent”，箭頭右側的公式稱為“後件consequent”。
- 只有當前件為真且後件為假時，蘊涵才為假。
關於這些連線詞，還有一些值得一提的事情。
第一個與析取有關：它被引入為類似於英語中的“或”一詞，但有一點不同。
在英語中，當我們說“a 或 b”時，我們通常是指其中一個，而不是兩個。這就是所謂的排他或，因為我們排除了兩個選項為真。然而，析取是包容性的——如果兩個析取項都為真，它仍然為真。
下一個例子是為了強調在處理邏輯蘊涵時順序確實很重要。考慮以下語句
- 如果我正在做麵包，那麼我就正在烘烤。
這是正確的。但是如果你把前件和後件互換一下，就會得到這樣的結果：
- 如果我在烘焙，那麼我就是做麵包。
現在這顯然是錯誤的；也許你可以去烤蛋糕！
最後，在邏輯中處理蘊涵時，我們並不關心因果關係。也就是說，當我們說一件事暗示另一件事時，前因和後果之間不必有任何關係。比如，考慮這個句子
- 如果埃及人建造了金字塔，那麼胡蘿蔔就是橙色的。
在英語中，這毫無意義，因為埃及金字塔與胡蘿蔔的顏色毫無關係。但從邏輯上講，我們並不關心這些關係。
現在，我們有了一種方法，可以將簡單的陳述（命題原子）組合成公式，用邏輯連線詞來描述這個世界更有趣的事情。
主要思想總結：
- 因為我們只關心邏輯結構而不是具體含義，所以我們用單個字母來表示無法進一步分解的簡單句子（命題原子）。
- 有一組四個聯結詞，我們可以用來將命題原子組合成邏輯公式。
- 連線詞有一個應用順序。
- 這使我們能夠明確地將有關世界的陳述編碼為可以嚴格論證的形式。
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