15分鐘理解數字影象中的二維傅立葉變換語義

0 概述

最近在做影象與視覺方面的一些內容，關於數字影象中的二維傅立葉變換，一直在思考如何將二維傅立葉變換的語義形象地解釋。今天翻閱https://plus.maths.org/content/上面的文章，偶爾發現了一篇文章（https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images），居然沒用一個公式，將影象處理中的二維傅立葉變換解釋得如此清楚。（如果不介意英語，請直接看原文）

1 二維傅立葉變換在影象中的理解

一般而言，我們平時所指的影象是平面影象，包含x軸和y軸，很多情況下，我們是在處理灰度圖，如邊緣提取、輪廓獲取等。在灰度圖中，每一個畫素點的取值範圍維[0, 255]，將影象看成一個函式，其中，分別表示軸和軸的座標值，表示灰度值，則可以看成一個三維立體影象，如下圖所示：

在繼續之前，先看看平面二維的灰度圖在三維空間中長什麼樣？請看下圖：

接著請看：

其中，u軸表示灰度值，它對應的函式是，其中分別表示軸的頻率。

其實到這裡，熟悉一維ft的同學，應該已經猜到後面該二維傅立葉變換的語義了，只不過一維情況是時間域和頻域的對應，時間是一維的，只有一個頻率方向變換，而在二維傅立葉變換時，頻域對應兩個方向分量，一個是軸對應的頻率方向分量，還有一個是軸對應的頻率方向分量。

繼續看下面特殊的例子：

在二維傅立葉變換後的影象中（即頻域圖），每個畫素都有一個對應的，其中表示空間域原圖中軸頻率，表示軸頻率。(0, 0)表示空間域影象中灰度沒有變化的區域，其亮度表示影象的平均灰度值。

圖4是的影象，請看圖2，顯然，在原圖的軸上是沒有灰度變化的，而在原圖的軸是有灰度變化的，由圖4中右邊的頻域圖即可看出，（-1，0）、（0，0）、（1，0）這三個白點剛好體現了這種變化（回憶一維情況下的頻域）。

下面兩張圖更明顯：

觀察圖5和圖6，很容易看出其中變化。

如果我們將空間域的原圖旋轉，則頻域的影象必然也跟著旋轉（還是看空間域與頻域的座標軸對應關係），請看下圖：

2 結論

這篇文章的關鍵一步是將空間域影象中的灰度值作為一個軸，變換到3維空間，然後在此基礎上解釋二維傅立葉變換。此外，要注意的是：空間域影象中畫素點與頻域影象中的畫素點是沒有直接對應關係，與像一維影象中的情況一樣。