連續時間傅立葉變換

1. 非週期訊號的表示：連續時間傅立葉變換

為了對傅立葉變換的實質進行更深入的瞭解，我們先從一個連續時間週期方波的傅立葉級數表示著手。即，在一個週期內

$x(t) = \begin{cases} 1, & \text |t| < T_1 \\ 0, & \text T_1 < |t| < T/2 \end{cases}$

以週期 $T$ 週期重複，如下圖所示。

該方波訊號的傅立葉級數係數 $a_k$ 是

$\tag{1}a_k = \frac{2sin(k\omega_0T_1)}{k\omega_0T}$
式中 $\omega_0 = 2\pi/T$。

理解（1） 式的另一種方式是把它當作一個包絡函式的樣本，即

$\tag{2}Ta_k = \frac{2sin\omega T_1}{\omega}\lvert _{\omega=k\omega_0}$

這就是，若將 $\omega$ 看作一個連續變數，則函式 $ {(2sin\omega T_1)}/{\omega}$ 就代表 $Ta_k$ 的包絡，這些係數就是在此包絡上等間隔取得的樣本。而且，若 $T_1$ 固定，則 $Ta_k$ 的包絡就與 $T$ 無關，如下圖所示。

從該圖可以看出，隨著 $T$ 增加，該包絡就被以愈來愈密集的間隔取樣。隨著 $T$ 變得任意大，原來的週期方波就趨近於一個矩形脈衝（也就是說，在時域保留下的是一個非週期訊號，它對應於原方波的一個週期）。

與此同時，傅立葉級數（乘以 $T$ 後）作為包絡上的樣本也變得愈來愈密集，這從某種意義上來說，隨著 $T\to \infty$，傅立葉級數就趨近於這個包絡函式。

這個例子說明了對非週期訊號建立傅立葉表示的基本思想，可以把非週期訊號當作一個週期任意大的極限來看待。

現在我們來考慮一個訊號 $x(t)$，它具有有限持續期 $2T_1$，從這個週期訊號出發，可以構成一個週期訊號 $\tilde x(t)$，使 $x(t)$ 就是 $\tilde x(t)$ 的一個週期。當把 $T$ 選的比較大時，$x(t)$ 就在一個更長的時段上與 $\tilde x(t)$ 相一致，並且隨著 $T\to \infty$，對任意有限時間值 $t$ 而言，$\tilde x(t)$ 就等於 $x(t)$。

在這種情況下，我們考慮將 $\tilde x(t)$ 表示成傅立葉級數，將積分割槽間選為 $-T/2 \leqslant t \leqslant T/2$。

$\tag{3}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0t}$

$\tag{4}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\tilde x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$

式中 $\omega_0=2\pi / T$，由於在 $|t|< T/2$ 內，$\tilde x(t)=x(t)$，而在其餘地方，$x(t)=0$，所以（4）式可以重新寫為

$\tag{5}a_k = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$

因此，定義 $Ta_k$ 的包絡 $X(j\omega)$ 為

$\tag{6}X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$

這時候，係數 $a_k$ 可以寫為

$\tag{7}a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0)$

將（3） 和 （7）結合在一起，$\tilde x(t)$ 就可以用表示為

$\tag{8}\tilde x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}\omega_0$

隨著 $T\to \infty$，$\tilde x(t)$ 趨近於 $x(t)$，式（8）的極限就變成 $x(t)$ 的表示式。再者，當 $T\to \infty$ 時，有 $\omega_0\to 0$，式（8）的右邊就過渡為一個積分。

右邊的每一項都可以看作是高度為 $X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0t}$ 寬度為 $\omega_0$ 的矩形的面積。式（8）和式（6）就分別變成

$\tag{9}\boxed{ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega}$

$\tag{10}\boxed{X(j\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$

（9）式和 （10）式被稱為傅立葉變換對。函式 $X(j\omega)$ 稱為 $X(t)$ 的傅立葉變換或傅立葉積分，也通常被稱為頻譜，而 （9）式稱為傅立葉反變換式。

• 例 1
  

• 例 2
  
  

sinc 函式通常所用的形式為

$\tag{11} sinc(\theta)=\frac{sin\pi\theta}{\pi\theta}$

2. 週期訊號的傅立葉變換

考慮一個訊號 $x(t)$，其傅立葉變換 $X(j\omega)$ 是一個面積為 $2\pi$，出現在 $\omega = \omega_0$處的單獨的一個衝激，即

$\tag{12} X(j\omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0)$

為了求出與 $X(j\omega)$ 對應的 $x(t)$，可以應用式（9）的反變換公式得到

$\tag{13}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} 2\pi\delta(\omega-\omega_0)e^{j\omega t}d\omega=e^{j\omega_0 t}$

將上面的結果再加以推廣，如果 $X(j\omega)$ 是在頻率上等間隔的一組衝激函式的線性組合，即

$\tag{14} X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}2\pi a_k\delta(\omega-k\omega_0)$

那麼利用式（9），可得

$\tag{15} x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}a_ke^{jk\omega_0 t}$

可以看出，式（15）就是一個週期訊號所給出的傅立葉級數表示。因此，一個傅立葉級數係數為 $\{a_k\}$ 的週期訊號的傅立葉變換，可以看成是出現在成諧波關係的頻率上的一串衝激函式，發生於第 $k$ 次諧波頻率 $k\omega_0$ 上的衝激函式的面積是第 $k$ 個傅立葉級數係數 $a_k$ 的 ${2\pi}$ 倍。

3. 連續時間傅立葉變換性質

為了方便，我們將 $x(t)$ 和 $X(j\omega)$ 這一對傅立葉變換用下列符號表示

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

3.1. 線性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

和

$y(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)$

則

$\tag{16} \boxed{ ax(t)+by(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX(j\omega)+bY(j\omega)}$

3.2. 時移性質

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

則

$\tag{17} \boxed{ x(t-t_0) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega t_0}X(j\omega)}$

這個性質說明：訊號在時間上移位，並不改變它的傅立葉變換的模。

3.3. 共軛及共軛對稱性

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

則

$\tag{18} \boxed{ x^*(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(-j\omega)}$

共軛性質就能證明，若 $x(t)$ 為實函式，那麼 $X(j\omega)$ 就具有共軛對稱性，即

$\tag{19} \boxed{ X(-j\omega) = X^*(j\omega) \qquad [x(t) 為實]}$

這就是說，傅立葉變換的實部是頻率的偶函式，而虛部則是頻率的奇函式。

3.4. 微分和積分

$\tag{20} \boxed{ \frac{dx(t)}{dt} \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\omega X(j\omega)}$

$\tag{21} \boxed{ \int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1} {j\omega} X(j\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)}$

3.5. 時間與頻率的尺度變換

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

$\tag{22} \boxed{ x(at) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})}$

若令 $a=-1$，則有

$\tag{23} \boxed{ x(-t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(-j\omega)}$

3.6. 對偶性

3.7. 帕斯瓦爾定理

若

$x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(j\omega)$

則

$\tag{24} \boxed{\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|X(j\omega)|^2d\omega }$

3.8. 卷積性質

$\tag{25} \boxed{y(t)=h(t)*x(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)}$

兩個訊號在時域內的卷積就等於它們傅立葉變換的乘積。

3.9. 相乘性質

$\tag{27} \boxed{r(t)=s(t)p(t) \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} R(j\omega)=\frac{1}{2\pi}[S(j\omega)*P(j\omega)]}$

兩個訊號在時域內的相乘就對應於頻域內的卷積。

4. 傅立葉變換性質和基本傅立葉變化列表

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