週期訊號的傅立葉級數表示

1. 線性時不變系統對復指數訊號的響應

在研究 $LTI$ （Linear and Time-invariant System）系統時，將訊號表示成基本訊號的線性組合是很有利的，但這些基本訊號應該具有以下兩個性質：

由這些基本訊號能夠構成相當廣泛的一類有用訊號；
$LTI$ 系統對每一個基本訊號的響應應該十分簡單，以使得系統對任意輸入訊號的響應有一個很方便的表示式。

傅立葉分析的很多重要價值都來自於這一點，即連續和離散時間復指數訊號集都具有上述兩個性質，即連續時間的 $e^{st}$ 和離散時間的 $z^n$ ，其中 $s$ 和 $z$ 都是複數。

在研究 $LTI$ 系統時，復指數訊號的重要性在於這樣一個事實，即一個 $LTI$ 系統對復指數訊號的響應也是同樣一個復指數訊號，不同的只是幅度上的變化，也就是說：

$連續時間：e^{st} \to H(s)e^{st}$
$離散時間：z^{n} \to H(z)z^{n}$
這裡 $H(s)$ 或 $H(z)$ 是一個復振幅因子，一般來說是復變數 $s$ 或 $z$ 的函式。一個訊號，若系統對該訊號的輸出響應僅是一個常數乘以輸入，則稱該訊號為系統的特徵函式，而幅度因子稱為系統的特徵值。

現考慮一個單位衝激響應為 $h(t)$ 的連續時間 $LTI$ 系統，對任意輸入 $x(t)$ ，可由卷積積分來確定輸出，若令 $x(t)=e^{st}$ ，則有

$\tag 1 y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)x(t-\tau)d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{s(t-\tau)}d\tau = e^{st}\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$

假設（1）式右邊的積分收斂，於是系統對 $x(t)$ 的響應就為
$\tag 2 y(t) = H(s) e^{st}$
式中 $H(s)$ 是一個復常數，其值決定於 $s$ ，並且它與系統單位衝激響應的關係為
$\tag 3 H(s) =\int_{-\infty}^{+\infty}h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$

可以完全用並行的方式證明，復指數序列也是離散時間 $LTI$ 系統的特徵函式。這就是說單位脈衝響應為 $h[n]$ 的 $LTI$ 系統，其輸入序列為
$\tag 4 x[n] = z^{n}$
式中 $z$ 為某一複數，由卷積和可以確定系統的輸出為
$\tag 5 y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{n-k} = z^n\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}$
假設（5）式右邊的求和收斂，於是系統對 $x[n]$ 的響應就為
$\tag 6 y[n] = H(z) z^{n}$
式中 $H(z)$ 是一個復常數，為
$\tag 7 H[z] =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}h[k]z^{-k}$

針對更一般的情況，若一個連續時間 $LTI$ 系統的輸入表示成復指數的線性組合，即
$\tag 8 x(t) = \sum_k a_k e^{s_kt}$
那麼輸出就一定是
$\tag 9 y(t) = \sum_k a_kH(s_k) e^{s_kt}$

對於離散情況，完全類似，若一個離散時間 $LTI$ 系統的輸入表示成復指數的線性組合，即
$\tag {10} x[n] = \sum_k a_k z_k^n$
那麼輸出就一定是
$\tag {11} y[n] = \sum_k a_kH(z_k) z_k^n$

2. 連續時間週期訊號的傅立葉級數表示

2.1. 成諧波關係的復指數訊號的線性組合

週期復指數訊號
$\tag{12}x(t) = e^{j \omega_0 t}$
的基波頻率為 $\omega_0$ ，基波週期 $T=2\pi / \omega_0$ 。與之有關的成諧波關係的復指數訊號集就是
$\tag{13}\phi_k(t) = e^{j k\omega_0 t}=e^{j k(2\pi / T) t}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot$

這些訊號中的每一個都有一個基波頻率，它是 $\omega_0$ 的倍數。因此每個訊號對週期 $T$ 來說都是週期的。於是，一個由成諧波關係的復指數訊號線性組合形成的訊號
$\tag{14}x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t}$
對週期 $T$ 來說也是週期的。在式（14）中， $k=0$ 這一項是個常數， $k=+1$ 和 $k=-1$ 這兩項都有基波頻率等於 $\omega_0$ ，兩者合在一起稱之為基波分量或稱一次諧波分量。 $k=+2$ 和 $k=-2$ 這兩項也是週期的，其頻率是基波頻率的兩倍，稱為二次諧波分量。一般來說， $k=+N$ 和 $k=-N$ 的分量稱為第 $N$ 次諧波分量。

一個週期訊號表示成式（14）的形式，就稱為傅立葉級數表示。

2.2. 連續時間週期傅立葉級數表示的確定

假設一個給定的週期訊號能表示成式（14）的形式，這就需要一種辦法來確定這些係數 $a_k$ ，將式（14）兩邊各乘以 $e^{-jn\omega_0t}$ ，可得
$\tag{15} x(t) e^{-jn\omega_0t}= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}$
將上式兩邊從 0 到 $T=2\pi/ \omega_0$ 對 $t$ 積分，有
$\tag{16} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \int _0^T\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}e^{-jn\omega_0t}dt$

這裡 $T$ 是 $x(t)$ 的基波週期，以上就是在該週期內積分。將上式右邊的積分和求和次序交換後得
$\tag{17} \int _0^Tx(t) e^{-jn\omega_0t}dt= \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt$
式（17）右邊括號裡的積分是很容易的，為此利用尤拉公式可得

$\tag{18} \int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt=\int _0^T cos(k-n)\omega_0 tdt+j\int _0^T sin(k-n)\omega_0 tdt$

對於 $k\not= n$ ， $cos(k-n)\omega_0 t$ 和 $sin(k-n)\omega_0 t$ 都是周期函式，其基波週期為 $(T/|k-n|)$ 。現在做的積分是在 $T$ 區間內進行，而 $T$ 又一定是它們的基波週期 $(T/|k-n|)$ 的整數倍。由於積分可以看做是被積函式在積分割槽間內所包括的面積，所以式（18）右邊的兩個積分對於 $k\not= n$ 來說，其值為 0；而對 $k= n$ ，式左邊的被積函式是 1，所以其積分值為 $T$ 。綜合上述得到
$\tag{19}\int _0^Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}$
這樣式（17）的右邊就變成了 $Ta_n$ ，因此有

$\tag{20} a_n = \frac{1}{T}\int _0^Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt$

另外，在求式（18）時我們僅僅用到了積分是在一個 $T$ 的時間間隔內進行，而該 $T$ 又是 $cos(k-n)\omega_0 t$ 和 $sin(k-n)\omega_0 t$ 週期的整數倍。因此，**如果是在任意 $T$ 的間隔做積分，結果應該是相同的。**也就是說，若以 $\int _T$ 表示在任意一個 $T$ 間隔內的積分，則應該有

$\tag{21}\int _Te^{j (k-n)\omega_0 t}dt= \begin{cases} T, &\text k=n \\ 0, &\text k\not=n \end{cases}$
因此
$\tag{22} a_n = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j n\omega_0 t}dt$

上述過程可歸結下：如果 $x(t)$ 能表示成一組成諧波關係的復指數訊號的線性組合，那麼傅立葉級數中係數就由式（22）所確定，這一對關係就定義為一個週期連續訊號的傅立葉計數。
$\boxed{x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k\omega_0 t}=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{j k(2\pi / T) t}}$
$\boxed{a_k = \frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k\omega_0 t}dt=\frac{1}{T}\int _Tx(t)e^{-j k(2\pi/T) t}dt}$
第一個式子稱為綜合公式，第二個式子稱為分析公式。係數 ${a_k}$ 往往稱為 $x(t)$ 的傅立葉級數係數或頻譜系數。

例 1
例 2

2.3. 傅立葉級數的收斂

對於任何週期訊號，我們總是能利用式（22）求得一組傅立葉係數。然而，在某些情況下式（22）的積分可能不收斂，也就是說求得的某些係數可能是無窮大。再者，即使求得的全部係數都是有限值，當把這些係數代入式（14）時所得到的無限項級數也可能不收斂於原訊號。

狄裡赫利條件：

在任何週期內， $x(t)$ 必須絕對可積，即
$\tag{23}\int_T|x(t)|dt < \infty$
這一條件保證了每一系數 $a_k$ 都是有限值，因為
$\tag{24}|a_k| \leqslant \frac{1}{T}\int_T|x(t)e^{jk\omega_0t}|dt=\frac{1}{T}\int_T|x(t)|dt$
不滿足狄裡赫利第一條件的週期訊號可以舉例如下：
$\tag{25}x(t)=\frac{1}{t}, 0<t\leqslant1$
在任意有限區間內， $x(t)$ 具有有限個起伏變化，也就是說，在任何單個週期內， $x(t)$ 的最大值和最小值的數目有限。

滿足條件 1 而不滿足條件 2 的一個函式是
$\tag{26}x(t)=sin(\frac{2\pi}{t}),0<t\leqslant1$

在 $x(t)$ 的任何有限區間內，只有有限個不連續點，而且在這些不連續點上，函式都是有限值。

不滿足條件 3 的一個例子如下所示，這個訊號的週期為 $T=8$ ，它是這樣組成的：後一個階梯的高度和寬度都是前一個階梯的一半。

2.4. 傅立葉級數的性質

3. 離散時間週期訊號的傅立葉級數表示

3.1. 成諧波關係的復指數訊號的線性組合

週期復指數訊號
$\tag{27}x[n] = e^{j (2 \pi/N)n}$
基波頻率為 $\omega_0 = 2\pi / N$ ，基波週期為 $N$ 。與之有關的成諧波關係的復指數訊號集就是
$\tag{28}\phi_k[n] = e^{j k\omega_0 n}=e^{j k(2\pi / N) n}, k=0, \pm1, \pm2,\cdot \cdot \cdot$

這些訊號中的每一個都有一個基波頻率，它是 $2\pi / N$ 的倍數。由式（28）給出的訊號集中只有 $N$ 個訊號是不相同的，這是由於離散時間復指數訊號在頻率上相差 $2\pi / N$ 的整數倍都是一樣的緣故。因此有
$\tag{29}\phi_k[n] = \phi_{k+rN}[n]$
這就是說，當 $k$ 變化一個的 $N$ 整數倍時，就得到一個完全一樣的序列。現在我們希望利用序列 $\phi_k[n]$ 的線性組合來表示更一般的週期序列，這樣一個線性組合就有如下形式
$\tag{30}x[n] = \sum_{k}a_k\phi_k[n]=\sum_{k}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k}a_ke^{j k(2\pi / N) n}$
因為序列 $\phi_k[n]$ 只有在 $k$ 的 $N$ 個相繼值的區間是不同的，因此，式（30）的求和僅僅需要包括 $N$ 項。為了指出這一點，特將求和限表示成 $k=<N>$ ，即
$\tag{31}x[n] = \sum_{k=<N>}a_k\phi_k[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n}$
譬如說， $k$ 即可以取 $k=0, 1, 2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N-1$ ，也可以取 $k=3, 4, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, N+2$ ，不管怎樣取，式（31）右邊的求和都是一樣的。式（31）稱為離散時間傅立葉級數，而係數則稱為傅立葉級數係數。

3.2. 離散時間週期傅立葉級數表示的確定

離散時間傅立葉級數對就為
$\boxed{x[n] =\sum_{k=<N>}a_ke^{j k\omega_0 n}=\sum_{k=<N>}a_ke^{j k(2\pi / N) n}}$
$\boxed{ a_k = \frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k\omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=<N>}x[n]e^{-j k(2\pi/N) n}}$
和連續時間週期訊號一樣，第一個式子稱為綜合公式，第二個式子稱為分析公式。係數 ${a_k}$ 往往稱為 $x[n]$ 的頻譜系數。

再回到式（31），我們看到若從 0 到 $N-1$ 範圍內取 $k$ ，則有
$\tag{32}x[n]=a_0\phi_0[n]+a_1\phi_1[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N-1}\phi_{N-1}[n]$
相類似地，若從 1 到 $N$ 範圍內取 $k$ ，則有
$\tag{33} x[n]=a_1\phi_1[n]+a_2\phi_2[n]+ \cdot \cdot \cdot+a_{N}\phi_{N}[n]$
因為 $ \phi_0[n] = \phi_N[n]$，將式（32）和式（33）作一比較，就可以得出 $a_0 = a_{N}$ 。類似地，若 $k$ 取任何一組 $N$ 個相連的整數，就一定有
$\tag{34} a_k = a_{k+N}$
這就是說，倘若我們考慮的 $k$ 值多餘 $N$ 的話，那麼 $a_k$ 的值必定以 $N$ 為週期，週期性重複。