傅立葉級數
任何週期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示：
\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[a_n\cos(nw_0t)+b_n\sin(nw_0t)]
由於正弦函式和餘弦函式構成正交函式系，進行一些推導：
\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)dt=\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}\frac{a_0}{2}dt=\frac{\pi}{w_0}a_0\\{}\\ \Rightarrow a_0=\frac{w_0}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)dt=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)dt\\{}\\ \int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)\cos(nw_0t)dt=\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}a_n\cos^2(nw_0t)dt=\frac{\pi}{w_0}a_n\\{}\\ \Rightarrow a_n=\frac{w_0}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)\cos(nw_0t)dt=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)\cos(nw_0t)dt\\{}\\ \int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)\sin(nw_0t)dt=\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}b_n\sin^2(nw_0t)dt=\frac{\pi}{w_0}b_n\\{}\\ \Rightarrow b_n=\frac{w_0}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{w_0}}^{\frac{\pi}{w_0}}f(t)\sin(nw_0t)dt=\frac{2}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)\sin(nw_0t)dt
週期函式可以透過上述推導表示成三角級數形式，然後使用尤拉公式將三角級數化為了復指數形式，於是引出傅立葉級數：
尤拉公式：
\displaystyle e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x)
使用尤拉公式得：
\displaystyle \cos(nw_0t)=\frac{e^{jnw_0t}+e^{-jnw_0t}}{2}\\{}\\ \sin(nw_0t)=\frac{e^{jnw_0t}-e^{-jnw_0t}}{2j}
代入到f(t)：
\displaystyle f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n-jb_n}{2}e^{jnw_0t}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jnw_0t}\right)\\{}\\ F_n=\frac{a_n-jb_n}{2}\Rightarrow F_{-n}=\frac{a_n+jb_n}{2},F_0=\frac{a_0}{2}\\{}\\ \Rightarrow f(t)=F_0+\sum_{n=1}^\infty\left(F_ne^{jnw_0t}+F_{-n}e^{-jnw_0t}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{hnw_0t}
將a_n,b_n代到F_n中：
\displaystyle F_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jnw_0t}dt
連續傅立葉變換
傅立葉級數解決的是週期函式的表達問題，其頻譜圖是離散的，而傅立葉變換解決的則是非週期函式的表達問題，其頻譜圖是連續的。
對於非週期函式，有T_0\to\infty,w_0\to dw,nw_0\to w
將式子\displaystyle F_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jnw_0t}dt兩邊同乘T_0取極限：
\displaystyle \lim_{T_0\to\infty}F_nT_0=\lim_{T_0\to\infty}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jnw_0tdt}=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-jwt}dt
令F(w)=\lim_{T_0\to\infty}F_nT_0得到傅立葉正變換：
\displaystyle F(w)=\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-jwt}dt
將式子F(w)=\lim_{T_0\to\infty}F_nT_0調整一下：
\displaystyle \lim_{T_0\to\infty}F_n=\lim_{T_0\to\infty}\frac{F(w)}{T_0}=\lim_{T_0\to\infty}\frac{F(w)w_0}{2\pi}=\frac{F(w)dw}{2\pi}
將式子\displaystyle f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jnw_0t}取極限得到傅立葉逆變換：
\displaystyle f(t)=\lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jnw_0t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(w)e^{jwt}dw
離散傅立葉變換
離散傅立葉變換得到的頻譜也是離散的，因此其公式可以由傅立葉級數公式推匯出。
將w_0=\frac{2\pi}{T_0}代入到F_n：
\displaystyle F_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-jnw_0t}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}f(t)e^{-j2\pi\frac{nt}{T_0}}dt
轉換成離散情況：
\displaystyle F(u)=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^Nf(x)e^{-j2\pi\frac{ux}{N}},u=0,1,\cdots,N-1
一般離散傅立葉變換把\frac{1}{N}移到逆變換上，所以離散傅立葉正變換最終表示式為：
\displaystyle F(u)=\sum_{x=0}^Nf(x)e^{-j2\pi\frac{ux}{N}},u=0,1,\cdots,N-1
離散傅立葉逆變換：
\displaystyle f(x)=\frac{1}{N}\sum_{u=0}^NF(u)e^{j2\pi\frac{ux}{N}},x=0,1,\cdots,N-1
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