一、從簡單變換到傅立葉級數
如下圖所示，在笛卡爾座標系中，由於我們定義了一組基 $e_{x}=(1,0), e_{y}=(0,1)$ ，因此 座標系中的所有點才能夠被一個座標唯一地表示:
這樣的好處是有了座標以後，點與點之間就不再是相互孤立的存在，也就有了距離的關係。這個過程就是一種變換，即把座標變換到座標系中。
這種簡單的變換是將空間中的點使用一組基來表示，點是基的加權累加。類比到函式中，對於一個函式，我們期待使用一組基函式來表示。傅立葉級數與傅立葉變換就是用來辦到這件事的方法，其中傅立葉級數能夠將任意周期函式表示成一組基函式依照各自的係數的累加，而傅立葉變換針對的是非周期函式。
首先間述傅立葉級數，它可以將任意周期函式分解為簡單震盪函式（正弦函式和餘弦函式， 這些函式作為基函式) 的加和。具體地，對於週期為 $T$ 的周期函式 $f(t) $，可以分解為三角函 數的組合:
$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]$
這裡的 $w=\frac{2 \pi}{T}$ ，稱為基頻率。類比笛卡爾座標系， $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 就相當於座標，而 $1, \cos (n \omega t), \sin (n \omega t) $ 就相當於基向量，不同的是， $1, \cos (n \omega t), \sin (n \omega t) $ 是一組函 數，而基向量是一組向量，笛卡爾座標系使用基向量來表示點，傅立葉級數使用基函式來表 示周期函式。
這裡保留一個疑問：在上面對任意周期函式 f(t) 的分解公式中，這裡的 $1, \cos (n \omega t), \sin (n \omega t) $ 這些基函式都是沒有相位的，也就是說這些基函式在座標系中都是 關於 $y$ 軸對稱的，那麼在 $f(t)$ 不關於 $y$ 軸對稱時，這些關於 $y $ 軸對稱的基函式們真的能夠通 過線性組合得到一個不關於 $y$ 軸對稱的周期函式嗎? 這一點是很難直觀想象的，在下面的章 節中我們會證明這件事。
本節類比了笛卡爾座標系與傅立葉級數，首先對變換有一個簡單的概念，接下來的章節會介 紹更多的細節。
二、傅立葉級數
2.1 三角函式系
一個三角函式係為：
$\{1, \sin (\omega x), \cos (\omega x), \sin (2 \omega x), \cos (2 \omega x), \cdots, \sin (n \omega x), \cos (n \omega x), \cdots\}$
注意 $1$ 也可以看做一個函式，其實也就是 $\cos (0 \omega x)$ ，由於 $\sin (0 \omega x)=0$ ，所以我們就不 管它了。另外這裡的 $ \omega$ 也就是上面提到的基頻率，可以看到這個基頻率的大小由要分解的函 數 $f(t) $ 的週期 $T$ 決定的，也就是說使用傅立葉級數分解周期函式時不同週期的函式要使用不 同的三角函式系來作為基函式。
在笛卡爾座標系中，基向量滿足的性質是不同的基向量之間兩兩正交（內積為 0 ），相同的 基向量內積為 1 。假設兩個基向量 $v$ 和 $ m$ ，用下標表示基向量的維度，則他們的內積就是對 應的維度相乘之後的累加：
$v \cdot m=v_{1} m_{1}+v_{2} m_{2}+\cdots+v_{n} m_{n}=0$
傅立葉級數的基函式之間也有類似的性質，基向量之間的內積是以累加的方式計算的，類似 的，基函式之間的內積是以積分的形式計算的。同樣類似的，不同基函式之間的內積為 $0$ ， 同一基函式的內積為一個正數。
首先，如果從三角函式系中任意取兩個函式 $f(x), g(x) $ （當然也包括 $1$ 這個函式），有:
$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$
比如：
$\begin{array}{l}&\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot 1 \mathrm{~d} x=2 \pi \\&\int_{-\pi}^{\pi} \sin (n \omega x) \sin (n \omega x) \mathrm{d} x=\pi \\&\int_{-\pi}^{\pi} \cos (n \omega x) \cos (n \omega x) \mathrm{d} x=\pi\end{array}$
2.2 傅立葉級數的直觀理解
2.2.1 矩形波的分解
以一個週期矩形波為例，難以想象的是這個矩形波是可以被傅立葉級數分解的。下圖中展示了多個正弦函式如何逐步組合成為一個矩形波，隨著震盪函式的增加，它們最終就可以組成一個矩形波：
注意這裡只有正弦函式而沒有餘弦函式，這裡的正弦函式並非指的是前面對 $f(t)$ 的分解公式裡的正弦函式，公式裡的正弦函式是沒有相位的，而這裡說的正弦函式是有相位的。我們之前說任意周期函式都可以由正弦和餘弦函式累加而組成，這裡的正弦函式和餘弦函式是沒有相位的，而事實上我們只需要有相位的正弦函式就可以組成任意的周期函式了。下圖也同樣展示了這些有相位的正弦波組合成矩形波的過程：
這裡的正弦波之間還有一些直線，這些直線其實也是正弦波，只不過振幅為 $0$ ，這說明組成一個周期函式時，可能一些成分是不需要的。
2.2.2 頻譜
上面的圖立體地展示了正弦波組合成周期函式的過程，如果我們從側面來看這個立體圖，也就得到了所謂的頻譜（Spectrum）：
其實也就相當於以這些正弦波的頻率做橫軸，振幅做豎軸得到影像：
現在再重新來看一個周期函式的立體分解圖，也就是說從正面來看看到的是時域（Time Domain）的影像，而從側面來看看到的就是頻域（Frequency Domain）影像：
2.2.3 相位譜
頻譜記錄了正弦波的頻率和振幅，但沒有記錄相位資訊，同樣的我們可以以頻率為橫軸，相位為縱軸構建一個相位譜（phase spectrum）：
利用頻譜和相位譜就可以記錄所有的組成一個周期函式的正弦函式了。最終，放一張集合圖：
2.2.3 傅立葉級數的由來
現在我們解釋下面這個式子的由來，也順便回答第一個章節留下的疑問：
$f(t)=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]$
利用帶有相位的正弦函式可以組合成任意的周期函式，當然這裡的基頻率還是 $\omega=\frac{2 \pi}{T} $， 這 個過程用公式可以表示為:
$f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right)$
利用和角公式進行一些變換:
$\begin{array}{l}f(t)&=\sum\limits _{n=0}^{+\infty} A_{n} \sin \left(n \omega t+\varphi_{n}\right) \\&=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} A_{n}\left[\sin (n \omega t) \cos \left(\varphi_{n}\right)+\cos (n \omega t) \sin \left(\varphi_{n}\right)\right] \\&=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\left[A_{n} \cos \left(\varphi_{n}\right) \sin (n \omega t)+A_{n} \sin \left(\varphi_{n}\right) \cos (n \omega t)\right] \\&=A_{0} \cos \left(\varphi_{0}\right) \underbrace{\sin (0 \omega t)}_{=0}+\underbrace{A_{0} \sin \left(\varphi_{0}\right)}_{\text {記作 } a_{0}} \underbrace{\cos (0 \omega t)}_{=1}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}[\underbrace{A_{n} \cos \left(\varphi_{n}\right)}_{\text {記作 } b_{n}} \sin (n \omega t)+\underbrace{A_{n} \sin \left(\varphi_{n}\right)}_{\text {記作 } a_{n}} \cos (n \omega t)] \\&=a_{0}+\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]\end{array}$
最終得到了我們之前說過的傅立葉級數，同時也解釋了前面留下的疑問。
2.2.4 求解傅立葉級數的係數
對於一個周期函式 $f(t)$ ，如何求它分解為傅立葉級數後的係數 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ 呢? 同樣類比笛卡 爾座標系，一個座標點與一個基向量做內積就可以得到這個座標點在這個基向量上的係數， 那麼一個周期函式只需要與一個基函式做積分，也就可以得到對應的係數。那麼首先求 $a_{0}$ ( $a_{0} $ 對應的基函式為 $\cos (0 t) $ ）:
$\begin{array}{l}\int_{0}^{T} f(t) \cos (0 t) \mathrm{d} t&=\int_{0}^{T}\left(a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]\right) \cos (0 t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{0} \cos (0 t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum \limits_{n=1}^{+\infty}[a_{n} \underbrace{\cos (n \omega t) \cos (0 t)}_{\text {積分 } 0}+b_{n} \underbrace{\sin (n \omega t) \cos (0 t)}_{\text {積分為 } 0}] \mathrm{d} t \\&=a_{0} T\end{array}$
那麼就有：
$a_{0}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$
然後求 $ a_{n}$ ，對應的基函式為 $\cos (n \omega t)$ :
$\begin{array}{l}\int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t&=\int_{0}^{T}\left(a_{0}+\sum \limits _{m=1}^{+\infty}\left[a_{m} \cos (m \omega t)+b_{m} \sin (m \omega t)\right]\right) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{0} \cos (n \omega t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum \limits_{m=1}^{+\infty} a_{m} \cos (m \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{T} \sum_{m=1}^{+\infty} b_{m} \sin (m \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \cos (n \omega t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \cos ^{2}(n \omega t) \mathrm{d} t \\&=\int_{0}^{T} a_{n} \frac{1+\cos (2 n \omega t)}{2} \mathrm{~d} t \\&=a_{n} \frac{T}{2}\end{array}$
那麼就有：
$a_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t$
最後用類似的方法求得 $b_{n}$:
$b_{n}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (n \omega t) \mathrm{d} t$
2.2.5 尤拉公式與傅立葉級數
首先有尤拉公式如下：
$e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \sin (\theta)$
可以簡單的將尤拉公式理解為複數的另一種表示形式， $e^{i \theta} $ 看做複數。為了能夠化簡傅立葉級 數的表達形式，我們需要應用到尤拉公式。
當 $\theta=n \omega t $ 以及 $ \theta=-n \omega t $ 時，根據尤拉公式有:
$\begin{array}{l}e^{i n \omega t}=\cos (n \omega t)+i \sin (n \omega t) \\e^{-i n \omega t}=\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)\end{array}$
那麼：
$\begin{aligned}\cos (n \omega t) &=\frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2} \\\sin (n \omega t) &=\frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2 i}\end{aligned}$
將這兩項代入傅立葉級數，並進行整理：
$\begin{array}{l}f(t)&=a_{0}+\sum \limits _{n=1}^{+\infty}\left[a_{n} \frac{e^{i n \omega t}+e^{-i n \omega t}}{2}+b_{n} \frac{e^{i n \omega t}-e^{-i n \omega t}}{2 i}\right] \\&=a_{0}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\right) e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}+i b_{n}}{2}\right) e^{-i n \omega t} \\&=\sum \limits_{n=0}^{0} a_{n} e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{a_{n}-i b_{n}}{2}\right) e^{i n \omega t}+\sum \limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\frac{a_{-n}+i b_{-n}}{2}\right) e^{i n \omega t} \\&=\sum \limits_{-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t}\end{array}$
其中：
$\begin{array}{l}\text { 當 } n=0 \text { 時 }, c_{n}=a_{0} \\\text { 當 } n=1,2,3, \cdots \text { 時, } c_{n}=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} \\\text { 當 } n=-1,-2,-3, \cdots \text { 時, } c_{n}=\frac{a_{-n}+i b_{-n}}{2}\end{array}$
上一小節我們求得了係數 $a_{0}, a_{n}, b_{n}$ ，現在將這些係數代入經過尤拉公式變換後的傅立葉級 數。首先，當 $n=0$ 時:
$\begin{array}{l}c_{n}=a_{0} \\=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t \\=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i 0 \omega t} \mathrm{~d} t\end{array}$
$\text { 當 } n=1,2,3, \cdots \text { 時: }$
$\begin{array}{l}c_{n}&=\frac{a_{n}-i b_{n}}{2} \\&=\frac{\frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos (n \omega t) \mathrm{d} t-i \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin (n \omega t) \mathrm{d} t}{2} \\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t)[\cos (n \omega t)-i \sin (n \omega t)] \mathrm{d} t \\&=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t\end{array}$
可見對於任意的 $n$ ，所有的 $c_{n}$ 的表示式都是一樣的，總結一下，傅立葉級數最終可以寫為:
$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t}, \text { 其中 } c_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t$
上面的式子也就說明，任意的一個週期為 $t$ 的周期函式，都可以使用一組 $c_{n}$ 來表示它。也就 是說，在時域內 $(t, f(t))$ 可以唯一地確定函式 $f(t)$ ，而在頻域內，函式 $f(t)$ 由 $\left(n, c_{n}\right)$ 來 唯一確定，這就是從時域到頻域的轉換，如下圖：
上圖右邊縱軸 $c_{n}$ 其實是個複數，可以理解為應該有兩個維度，一個實部，一個虛部，但是這 裡為了簡單畫圖，就把它畫成了實數，但其實它是個複數。
三、傅立葉變換
傅立葉變換針對非周期函式，一個非周期函式可以看做週期無限大的函式。同樣的以 $\boldsymbol{\omega}$ 作為 基頻率，滿足 $\omega=\frac{2 \pi}{T}$ ，當 $T \rightarrow+\infty$ 時， $ \omega \rightarrow 0 $ ，又有 $\omega=(n+1) \omega-n \omega=\Delta \omega $ ，因此 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 。
在這裡我們將 $c_{n}$ 寫作從 $-\frac{T}{2}$ 到 $\frac{T}{2} $ 的積分:
$c_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t$
那麼對於非周期函式 $f(t)$ 來說有：
$\begin{array}{l}f(t)&=\underset{T \rightarrow+\infty}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_{n} e^{i n \omega t} \\&=\underset{T \rightarrow+\infty}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t \cdot e^{i n \omega t} \\&=\underset{\Delta \omega \rightarrow 0}{lim} \sum \limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{\Delta \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t \cdot e^{i n \omega t}\end{array}$
從下圖中可以看做，當 $\Delta \omega \rightarrow 0$ 時，雖然 $n$ 為離散的量，但是 $n \omega$ 會變成一個連續的量:
注意 $\Delta \omega=\omega$ ，另外我們令 $ W=n \omega$ ，那麼我們有:
$\begin{array}{l}f(t)&=\lim _{\omega \rightarrow 0} \sum \limits _{n=-\infty}^{+\infty} \frac{\omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i n \omega t} \mathrm{~d} t \cdot e^{i \pi \omega t} \\&=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2 \pi}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i W t} \mathrm{~d} t\right) e^{i W t} \mathrm{~d} W \\&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i W t} \mathrm{~d} t\right) e^{i W t} \mathrm{~d} W\end{array}$
注意這裡的 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i W t} \mathrm{~d} t$ 是對 $t$ 進行積分，因此它是關於 $W$ 的函式，定義:
$F(W)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i W t} \mathrm{~d} t$
$F(W)$ 就是 $f(t)$ 的傅立葉變換，將 $F(W)$ 代入 $f(t)$ 得:
$f(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(W) e^{i W t} \mathrm{~d} W$
$f(t)$ 就是傅立葉變換的逆變換。
參考：