小波變換與傅立葉變換的區別

1. 應用範圍

• 高維資料因為其計算代價昂貴（緯度高計算必然昂貴）和建立索引結構的困難（空間索引結構往往面臨著“維度災”），因此有對其進行資料壓縮的需求，即對高維資料進行降維，傅立葉變換和小波變換都可以用來做這件事

2. 傅立葉變換

• 傅立葉變換，可以理解為將一個函式對映到（L2空間的）某組基上。觀察這組基(嚴格來說不是一組基)cosx,sinx,cos2x,sin2x...發現有個特點是它可以由一個母函式cosx通過平移和縮放獲得。

• 用不同頻率的三角函式去擬合原始訊號。

  
  
  

  圖4可以用三角函式擬合直線！！！
• 而原始訊號中的主要資訊都集中在低頻分量上，高頻分量往往是噪音，因此我們可以對變換後的三角函式係數只保留其前k個係數，而忽略剩餘的高頻部分，這樣就將資料降為了k維，由於高頻大多是噪音，因此丟失資訊並不多。（實現資料降維）
• 假設傅立葉變換f(x)=a1cos(x)+b1sin(x)+a2cos(2x)+b2sin(2x)+...+akcos(kx)+bksin(kx)已經能滿足精度要求了（再往後的高頻都是噪聲了），可以發現每個對映的分量都是在幾乎全定義域有非零值。

3. 小波變換

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-所謂“小波函式”是一族函式，需要滿足1.均值為0；2.在時域和頻域都區域性化（不是蔓延整個座標軸的），滿足這兩條的函式就是小波函式，有很多，最簡單的是Haar Wavelet。所以小波分析或者說小波變換要做的就是將原始訊號表示為一組小波基的線性組合，然後通過忽略其中不重要的部分達到資料壓縮或者說降維的目的。

- 利用小波變換，第一行原始的地震波訊號可以被近似地分解為30個小波的疊加。其中，每一個小波都是母函式平移和伸縮得到的

參考文獻

1. https://www.zhihu.com/question/19725983