【參考資料】
1.萬門大學：傅立葉變換、拉普拉斯變換與小波變換

【傅立葉變換系列部落格】
1.傅立葉變化（一）—— 複數
2.傅立葉變換（二）—— 卷積
3.傅立葉變換（三）—— 傅立葉變換

1 什麼是卷積

先給出卷積的定義（圖源自維基）：
$$(f\ast g)(x)=\int f(t)g(x-t)dt$$

理解卷積的意義，結合例子 —— 計算糧倉中糧食的存留量
首先定義兩個關於時間 $t$ 的函式 $f(t),g(t)$
其中，

1. $g(t)$: 糧倉接受新糧的速率
2. $f(t)$: 新糧經過 $t$ 時間後還剩下多少的比例
   

如圖可知

1. g-t 圖：糧倉在 $t_0$ 時刻接受了 $g(t_0)$ 數量的新糧
2. f-t 圖：一定數量的新糧經過 $\Delta t$ 時間後只剩下原先的 $f(\Delta t)\times 100\%$。

進一步可得，對於在 $t_0-\Delta t$ 時刻接受的 $g(t_0-\Delta t)$ 數量的新糧，在 $t_0$ 時刻只剩下了 $f(\Delta t)g(t_0-\Delta t)$。由此我們就可以計算出 $t$ 時刻糧倉中的糧食存留量 $S(t)$
$$S(t)=\sum _{i}f(t_i)g(t-t_i)={\int }_0^{t}f(t_i)g(t-t_i)d{t}_i$$

2 卷積的常見性質

由於這些常見性質與普通的函式非常一致，也比較容易理解，因此這裡指給結論不談證明（具體證明請看參考資料1）

2.1 線性（分配率）

$$f\ast (\alpha g_1+\beta g_2)=\alpha f\ast g_1+\beta f\ast g_2$$

2.2 交換律

$$f\ast g=g\ast f$$

2.3 結合律

$$k\ast (f\ast g)=(k\ast f)\ast g$$