時間連續非週期訊號
我們前面討論的都是週期訊號:
\[f(t)=f(t+T)
\]
其傅立葉級數的基頻率\(\omega_0=2\pi f = \frac{2\pi}{T}\), 由訊號的週期T決定。假設其傅立葉級數展開是頻率\(\omega\)的函式，那麼可見其展開式只有\(\omega = n\omega_0\)時有分佈，即其頻域(函式)是離散的
傅立葉變換針對於非週期函式，非週期函式可以看做週期\(T \rightarrow \infty\), 此時其基頻率\(\omega \rightarrow 0\), 原先的求和公式，可以寫作積分
前面的文件中，得出週期訊號的傅立葉級數表達：
\[ f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}{[A_ne^{jn\omega_0 t}]} \\
A_n = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt \\
w_0 = \frac{2\pi}{T} = \Delta \Omega
\]
當\(T\rightarrow \infty\), \(\omega_0 \rightarrow 0\),\(n\omega_0 \rightarrow \Omega\), 其中\(\Omega\)是一個連續變數，整理上式有:
\[f(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace \\
= \lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{w_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-jn\omega_0t}]dt e^{jn\omega_0 t}} \rbrace = \\
\lim_{\omega_0\rightarrow 0}\lbrace \sum_{-\infty}^{\infty} {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{jn\omega_0t}]dt e^{-jn\omega_0 t}}\Delta \Omega \rbrace = \\
\lbrace {\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt e^{j\Omega t}} d\Omega\rbrace \quad\quad (1)
\]
(1)中的係數:
\[F(\Omega) = \int_{-\infty}^{\infty}[f(t)e^{-j\Omega t}]dt
\]
稱作函式\(f(t)\)的傅立葉變換，\(F(\Omega)\)反映了\(f(t)\)的頻譜分佈情況