離散時間傅立葉變換

1. 離散時間傅立葉變換的匯出

針對離散時間非週期序列，為了建立它的傅立葉變換表示，我們將採用與連續情況下完全類似的步驟進行。

考慮某一序列 $x[n]$ ，它具有有限持續期；也就是說，對於某個整數 $N_1$ 和 $N_2$ ，在 $-N_1\leqslant N\leqslant N_2$ 以外， $x[n]=0$ 。下圖給出了這種型別的一個訊號。

由這個非週期訊號可以構成一個週期序列 $\tilde x[n]$ ，使 $x[n]$ 就是 $\tilde x[n]$ 的一個週期。隨著 $N$ 的增大， $x[n]$ 就在一個更長的時間間隔內與 $\tilde x[n]$ 相一致。而當 $N\to \infty$ ，對任意有限時間值 $n$ 而言，有 $\tilde x[n]=x[n]$ 。

現在我們來考慮一下 $\tilde x[n]$ 的傅立葉級數表示式

$\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}$

$\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}$

因為在 $-N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 區間的一個週期上 $\tilde x[n]=x[n]$ ，因此我們將上式的求和區間就選在這個週期上

$\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}$

現定義函式

$\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}$

可見這些係數 $a_k$ 正比於 $X(e^{j\omega})$ 的各樣本值，即

$\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})$

式中， $\omega_0=2\pi/N$ 用來記作在頻域中的樣本間隔。將（1）和（5）結合在一起， $\tilde x[n]$ 就可以表示為

$\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0$

隨著 $N\to \infty$ ， $\tilde x[n]$ 趨近於 $x[n]$ ，式（6）的極限就變成 $x[n]$ 的表示式。再者，當 $N\to \infty$ 時，有 $\omega_0\to 0$ ，式（6）的右邊就過渡為一個積分。

右邊的每一項都可以看作是高度為 $X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}$ 寬度為 $\omega_0$ 的矩形的面積。而且，因為這個求和是在 $N$ 個 $\omega_0=2\pi/N$ 的間隔內完成的，所以總的積分割槽間總是有一個 $2\pi$ 的寬度。式（6）和式（4）就分別變成

$\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega}$

$\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}}$

（7）式和（8）式被稱為離散時間傅立葉變換對。函式 $X(j\omega)$ 稱為 $X(t)$ 的離散時間傅立葉變換，也通常被稱為頻譜。

例 1
例 2

2. 週期訊號的傅立葉變換

考慮如下訊號
$\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n}$

其傅立葉變換是如下的衝激串

$\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l)$

為了驗證該式，必須求出其對應的反變換

$\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega$

注意，在任意一個長度為 $2\pi$ 的積分割槽間內，在上式的和中真正包括的只有一個衝激，因此，如果所選的積分割槽間包含在 $\omega_0+2\pi r$ 處的衝激，那麼

$\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n}$

現在考慮一週期序列 $x[n]$ ，週期為 $N$ ，其傅立葉級數為

$\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n}$

這時，傅立葉變換就是

$\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega - k\omega_0 - 2\pi l)$

這樣，一個週期訊號的傅立葉變換就能直接從它的傅立葉級數係數得到。

3. 離散時間傅立葉變換性質

為了方便，我們將 $x[n]$ 和 $X(e^{j\omega})$ 這一對傅立葉變換用下列符號表示

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

3.1. 離散時間傅立葉變換的週期性

$\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})}$

3.2. 線性

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega})$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega})$

則

$\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})}$

3.3. 時移與頻移性質

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

則

$\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})}$

$\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})}$

3.4. 共軛及共軛對稱性

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

則

$\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})}$

共軛性質就能證明，若 $x(t)$ 為實函式，那麼 $X(j\omega)$ 就具有共軛對稱性，即

$\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 為實]}$

這就是說，離散傅立葉變換的實部是頻率的偶函式，而虛部則是頻率的奇函式。

3.5. 差分與累加

$\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})}$

$\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)}$

3.6. 時間反轉

$\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})}$

3.7. 時域擴充套件

若令是一個正整數，並且定義

$\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 當\space n \space為\space k\space的整數倍 \\ 0, &\text 當\space n \space不為\space k\space的整數倍 \end{cases}$

$\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})}$

3.8. 頻域微分

$\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} }$

3.9. 帕斯瓦爾定理

$\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega }$

3.10. 卷積性質

$\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})}$

兩個訊號在時域內的卷積就等於它們傅立葉變換的乘積。

3.11. 相乘性質

$\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta}$
兩個訊號在時域內的相乘就對應於頻域內的週期卷積。