離散時間傅立葉變換(DTFT)
設離散序列x(n)的取樣週期是\(T_s\)， 那麼\(x(n)\) 可表示為\(x(nTs)\delta(t-nTs)\)，整個訊號可看做取樣而得的\(x_s(t)\);求這個東西的傅立葉變換就是:
\[\mathcal{F}[x_s(t)] = \int \sum x(nT_s)\delta(t-nTs)exp(-j\Omega t)dt = \\
\sum[ x(nT_s)\int\delta(t-nTs)exp(-j\Omega t)dt ]=\\
\sum [x(nT_s)exp(-j\Omega nT_s)] = \sum [x[n]exp(-jn\omega)] \\
\omega=\Omega T_s = \frac{\Omega}{f_s}
\]
在離散域時，一般把\(\omega\) 叫做數字角頻率，在不涉及到和模擬相關的轉換時，一般把取樣週期都認為是1，方便操作
前文說過，模擬訊號的取樣，對應於頻域是訊號的週期延拓，並且，我們通常認為原訊號是帶限的，否則因為出現混疊，我們做離散的變換分析也沒有意義
觀察 DTFT的表示式，可以發現：
- DTFT一定是週期的，且\(2\pi\)一定是DTFT的週期（數字角頻率計）
- DTFT仍然是連續的
離散傅立葉變換 （DFT）
DTFT得到的結果是在頻率域上仍然是連續的，這個不能用於實際應用。但DTFT表明了 離散序列的頻域基本情況。
一般，計算機中的序列長度都是有限的，假設某序列\(x(n)\)長度為N，時域描述為\(x_s(t)\),取樣間隔為\(T_s\), 其DTFT為:
\[x(j\omega) = \sum_{0}^{N-1}x(n)exp(-jn\omega)
\]
現在我們對其週期化，令週期為\(NT_s\) 則週期化的訊號為：
\[\widetilde{x_s}_N(t) = x_s(t)*\sum\delta(t-nT_s)
\]
當站在離散域角度看上面這個公式，相當於對序列 x(n) 按照 N進行週期延拓。在連續時間域上，其傅立葉變換相當於兩者變換的乘積，即:
\[\mathcal{F}(\widetilde{x_s}_N(t)) = \mathcal{F}(x_s(t)) \mathcal{F}(\sum\delta(t-nT_N))] =\\
x(j\omega) [K\sum{\delta(w-nw_N)}] = \\
K\sum x(jnw_N)\delta(w-nw_N) \quad （1）
\]
其中:
\[T_N = NT_s \quad w_N = \frac{2\pi}{T_N} T_s= \frac{2\pi}{N}
\]
即，序列週期化後，等價於在頻域上對其取樣，取樣間隔是\(\frac{2\pi}{N}\)
前文說過，DTFT一定是週期化且\(2\pi\)一定是其週期, 考察(1)在\([-\pi, \pi]\)區間內，剛好採了N個點，自此，我們可以引入DFT了.
因為\(x(jw) = x(j(w+2\pi))\) 則:
\[x(jnw_N) = x(jn\frac{2\pi}{N}) \\
x(j(n+N)(w_N)) = x(j(nw_N + Nw_N)) = x(j(nw_N + 2\pi)) = x(jnw_N)
\]
因此頻域的序列也是以N為週期的，我們考慮（1）其在一個週期內的展開結果
\[\sum_{k=0}^{N-1}{x(jkw_N)} \delta(w-kw_N) \\
x(jkw_N) = \sum_{n=0}^{N-1}{x(n)exp(-jnkw_N)} = \sum_{n=0}^{N-1}{x(n)exp(-jnk\frac{2\pi}{N})}
\]
忽略\(\delta(w-kw_N)\), 我們把上式稱作序列的DFT，正式定義如下：
\[X[k] =\sum_{n=0}^{N-1}{x[n]exp(-jkn\frac{2\pi}{N}})
\]