短時傅立葉變換原理
兩年前經常做這些，不過很久沒弄生疏了，最近接到這樣的需求，有必要讓我回憶一下，所以在此記錄一下原理知識點。
短時傅立葉變換是最常用的一種時頻分析方法，它透過時間窗內的一段訊號來表示某一時刻的訊號特徵。在短時傅立葉變換過程中：
- 窗的長度決定頻譜圖的時間解析度和頻率解析度。
- 窗長越長，擷取的訊號越長。
- 訊號越長，傅立葉變換後的頻率解析度越高，時間解析度越差。
- 相反，窗長越短，擷取的訊號就越短，頻率解析度越差，時間解析度越好。
這個可以用海森堡不確定性原理來解釋，時間和頻率是一對不可兼得的矛盾體，所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的，只能分時段。
在短時傅立葉變換中，時間解析度和頻率解析度之間不能兼得，應該根據具體需求進行取捨。
簡單來說，短時傅立葉變換就是先把一個函式和窗函式進行相乘，然後再進行一維的傅立葉變換。並透過窗函式的滑動得到一系列的傅立葉變換結果，將這些結果豎著排開得到一個二維的表象。
傅立葉變換後，橫軸為頻率，縱軸為幅值
短時傅立葉變換後，橫軸為時間，縱軸為頻率
短時傅立葉變換（Short Time Fourier Transform，STFT）公式為：
\displaystyle X(t,f)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau
角頻率表示法：
\displaystyle X(t,\omega)=\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau
X(t,\omega)是w(t,\omega)x(\tau)的傅立葉變換。
特性
積分特性\\{}\\ \displaystyle \int_{-\infty}^\infty X(t,f)df=\int_{t-B}^{t+B}x(\tau)\int_{-\infty}^\infty e^{-j2\pi f\tau}dfd\tau=\left\{ \begin{aligned} x(0);\ |t|\leqslant B\\ 0;\ |t|>B \end{aligned} \right.\\{}\\ 位移特性（時間軸方向的移動）\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau+\tau_0)e^{-j2\pi f\tau}d\tau=X(t+\tau_0,f)e^{j2\pi f\tau_0}\\{}\\ 調製特性（頻率軸方向的移動）\\{}\\ \int_{t-B}^{t+B}x(\tau)e^{j2\pi f_0\tau}d\tau=X(t,f-f_0)
窗函式
為了減少頻譜能量洩漏，可採用不同的擷取函式對訊號進行截斷，截斷函式稱為窗函式，簡稱為窗。
矩形窗函式\\{}\\ \displaystyle \omega(n)=R_M(n)=\left\{\begin{aligned}1,\ 0\leqslant n\leqslant M-1\\0,\ 其它\end{aligned}\right.\\{}\\ 三角窗函式\\{}\\ \omega(n)=0.5\left[1-\cos\left(\frac{2\pi n}{M+1}\right)\right],\ 1\leqslant n\leqslant M\\{}\\ hamming窗函式\\{}\\ \omega(n)=\left[0.54-0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{M-1}\right)\right]R_M(n)
窗函式的主要型別
- 冪窗，採用時間變數某種冪次的函式，如矩形、三角形、梯形或其它時間 t 的高次冪。
- 三角函式窗，應用三角函式，即正弦或餘弦函式等組合成複合函式，例如 hanning、hamming 窗等。
- 指數窗，採用指數時間函式，例如高斯窗等。
頻譜（Spectrogram）
Spectrogram 即短時傅立葉轉換後結果的絕對值平方，兩者的本質上是相同的，在文獻上也經常出現 Spectrogram 這個名詞。
\displaystyle SP_x(t,f)=|X(t,f)|^2=\bigg|\int_{-\infty}^\infty w(t-\tau)x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau\bigg|^2
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