終於學會了FFT，水一篇隨筆記錄一下
前置知識網上一大堆，這裡就不多贅述了，直接切入正題
01 介紹FFT
這裡僅指出FFT在競賽中的一般應用，即優化多項式乘法
一般情況下，計算兩個規模為$n$的多項式相乘的結果，複雜度為$O(n^2)$，但是神奇的FFT可以將其優化至$O(nlogn)$
FFT的過程一般為：
多項式的係數表示$\longrightarrow$多項式的點值表示$\longrightarrow$多項式的係數表示
網上對每一步的叫法都有一定出入，這裡稱第一步變換為快速傅立葉變換，第二步為快速傅立葉逆變換
02快速傅立葉變換
先指出，接下來的每個$n$都是$2$的整數次冪
首先我們有一個已知係數表達的$n$項的多項式
$A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}$
要確定其的點值表達$(y_0,y_1,y_2,\dots,y_{n-1})$，樸素的做法就是取$n$個不同值代進去，這麼做顯然是$O(n^2)$
下面介紹快速傅立葉變換的做法
首先將多項式按照奇偶分類
$A(x)=(a_0+a_2x^2+\dots+a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x+a_3x^3+\dots+a_{n-1}x^{n-1})$
$A(x)=(a_0+a_2x^2+\dots+a_{n-2}x^{n-2})+x\cdot(a_1+a_3x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-2})$
設
$A_1(x)=a_0+a_2x+\dots+a_{n-2}x^{\tfrac{n-2}{2}}$
$A_2(x)=a_1+a_3x+\dots+a_{n-1}x^{\tfrac{n-2}{2}}$
不難發現
$A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)$
令$k<\frac{n}{2}$
將$\omega_{n}^k$代入得
$A(\omega_{n}^k)=A_1(\omega_{n}^{2k})+\omega_{n}^{k}A_2(\omega_{n}^{2k})$
$A(\omega_{n}^k)=A_1(\omega_{\tfrac{n}{2}}^{k})+\omega_{n}^{k}A_2(\omega_{\tfrac{n}{2}}^{k})$
將$\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}$代入得
$A(\omega_{n}^{k}+\tfrac{n}{2})=A_1(\omega_{n}^{2k+n})+\omega_{n}^{k+\tfrac{n}{2}}A_2(\omega_{n}^{2k+n})$
$A(\omega_{n}^{k}+\tfrac{n}{2})=A_1(\omega_{n}^{2k}\cdot\omega_{n}^{n})-\omega_{n}^{k}A_2(\omega_{n}^{2k}\cdot\omega_{n}^{n})$
$A(\omega_{n}^{k}+\tfrac{n}{2})=A_1(\omega_{n}^{2k})-\omega_{n}^{k}A_2(\omega_{n}^{2k})$
$A(\omega_{n}^k)=A_1(\omega_{\tfrac{n}{2}}^{k})-\omega_{n}^{k}A_2(\omega_{\tfrac{n}{2}}^{k})$
顯然的，這兩個式子只有常數項不同
當$k$取遍$[0,\frac{n}{2}-1]$中所有值時$k+\dfrac{n}{2}$也取遍$[\dfrac{n}{2},n-1]$中所有值
因此，問題的規模縮小了一半，我們只需要在$[0,\dfrac{n}{2}-1]$中列舉$k$，這樣就可以算出$A(\omega_{n}^i)\quad(i\in[0,n-1])$的所有值
如果我們已知$A_1(x),A_2(x)$在$\omega_{\tfrac{n}{2}}^0,\omega_{\tfrac{n}{2}}^1,\dots,\omega_{\tfrac{n}{2}}^{\tfrac{n}{2}-1}$的值，通過上面的兩個式子就可以在$O(n)$的時間內求出$A(x)$
而求$A_1(x),A_2(x)$正好是求$A(x)$的子問題，並且可以遞迴求解
03快速傅立葉逆變換
在上面我們將一個多項式的係數表示轉換成了點值表示，這裡我們要研究將一個多項式的點值表示轉換成係數表示
記$(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$是$A(x)$的係數向量，而我們已知$A(x)$的點值表達為$(A(x_0),A(x_1),\dots,A(x_{n-1}))$
設向量$(d_0,d_1,\dots,d_{n-1})$是以$(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$為係數向量，快速傅立葉變換求得的點值表示
構造一個多項式$F(x)=d_0+d_1x+d_2x^2+\dots+d_{n-1}x^{n-1}$
設$(c_0,c_1,\dots,c_{n-1})$是$F(x)$在$x=\omega_n^{-k}$時的點值表示，即$c_k=F(\omega_n^k)$，也就是$c_k=\sum_{i=0}^{n-1}d_i(\omega_n^{-k})^i$
我們知道$d_k=A(\omega_n^k)$，也就是$d_k=\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^k)^j$
聯立上面兩個和式得
$c_k=\sum_{i=0}^{n-1} [\sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^i)^j] (\omega_n^{-k})^i$
$\quad \:=\sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-1}a_j(\omega_n^j)^i (\omega_n^{-k})^i$
$\quad \:=\sum_{j=0}^{n-1} a_j \sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^j \omega_n^{-k})^i$
$\quad \:=\sum_{j=0}^{n-1} a_j \sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{j-k})^i$
我們分情況討論後面的一個和式$\sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{j-k})^i$
$j \neq\ k$
那麼後面的一個和式就轉換為一個等比求和
$\sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{j-k})^i=\frac{\omega_n^0 [1-(\omega_n^{j-k})^n]}{1-\omega_n^{j-k}}$
$\qquad \qquad \quad \: \: \:=\frac{1-(\omega_n^{j-k})^n}{1-\omega_n^{j-k}}$
$\qquad \qquad \quad \: \: \:=\frac{1-(\omega_n^n)^{j-k}}{1-\omega_n^{j-k}}$
$\qquad \qquad \quad \: \: \:=\frac{1-1^{j-k}}{1-\omega_n^{j-k}}$
$\qquad \qquad \quad \: \: \:=\frac{0}{1-\omega_n^{j-k}}$
$\qquad \qquad \quad \: \: \:=0$
$j = k$
那麼$\omega_n^{j-k} = 1$
$\sum_{i=0}^{n-1} (\omega_n^{j-k})^i = n$
由上面兩種情況，我們知道當且僅當$j = k$時，整個式子才有值，其餘情況都為$0$
所以有
$c_j=a_jn$
$a_j = \frac{c_j}{n}$
到這裡，我們就求出了$A(x)$的係數表達
從整個分析過程看，我們是將$A(x)$的點值表示$(A(x_0),A(x_1),\dots,A(x_{n-1}))$當作一個新的多項式$F(x)$的係數表示，再對$F(x)$做快速傅立葉變換得到$(c_0,c_1,\dots,c_{n-1})$，然後再除以$n$就得到$A(x)$的係數表示了。需要指出的是，快速傅立葉變換中$x=\omega_n^k$但是在逆變換中代入的是$\omega_n^{-k}$
04實現
學會了前面的方法，具體實現就不難了
對於求$C(x)=A(x) \cdot B(x)$
將$A(x)$和$B(x)$都轉化成點值表達，即$(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})$和$(b_0,b_1,\dots,b_{n-1})$
對應相乘$(a_0b_0,a_1b_1,\dots,a_{n-1}b_{n-1})$，再將這一結果變換成$C(x)$的係數表達就完成了
貼一份C++的程式碼，這是洛谷上的FFT板子題P3803
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cmath> #define MAXN 4000006 using namespace std; class complex { public: complex(){} complex(double a,double b) { this->a=a; this->b=b; } double a,b; }a[MAXN],b[MAXN]; complex operator+ (complex x,complex y) { return complex(x.a+y.a,x.b+y.b); } complex operator- (complex x,complex y) { return complex(x.a-y.a,x.b-y.b); } complex operator* (complex x,complex y) { return complex(x.a*y.a-x.b*y.b,x.a*y.b+x.b*y.a); } const double pi=acos(-1.0); void FFT(int l,complex *arr,int f) { if(l==1) return; int dl=l>>1; complex a1[dl],a2[dl]; for(int i=0;i<l;i+=2) { a1[i>>1]=arr[i]; a2[i>>1]=arr[i+1]; } FFT(dl,a1,f); FFT(dl,a2,f); complex wn=complex(cos(2.0*pi/l),sin(2.0*pi/l)*f),w=complex(1.0,0.0); for(int i=0;i<dl;i++,w=w*wn) { arr[i]=a1[i]+w*a2[i]; arr[i+dl]=a1[i]-w*a2[i]; } } int n,m,N; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].a); for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].a); N=1; while(N<n+m+1) N<<=1; FFT(N,a,1); FFT(N,b,1); for(int i=0;i<N;i++) a[i]=a[i]*b[i]; FFT(N,a,-1); for(int i=0;i<n+m+1;i++) printf("%d ",(int)(a[i].a/N+0.5)); puts(""); return 0; }
閒著沒事幹，再貼一份Python的
import numpy as np pi = np.arccos(-1.0) def read(): def get_numbers(): try: read.s = input().split() read.s_len = len(read.s) if read.s_len == 0: get_numbers() read.cnt = 0 return 1 except: return 0 if not hasattr(read, 'cnt'): if not get_numbers(): return 0 if read.cnt == read.s_len: if not get_numbers(): return 0 read.cnt += 1 return eval(read.s[read.cnt - 1]) n = int(read()) m = int(read()) class Complex: # 複數類 def __init__(self, a=0.0, b=0.0): self.a = a self.b = b def __add__(self, other): return Complex(self.a + other.a, self.b + other.b) def __sub__(self, other): return Complex(self.a - other.a, self.b - other.b) def __mul__(self, other): return Complex(self.a * other.a - self.b * other.b, self.a * other.b + self.b * other.a) def fft(num, f, args): if num == 1: return div_num = num >> 1 a1 = [] a2 = [] for i in range(0, num, 2): a1.append(args[i]) a2.append(args[i + 1]) fft(div_num, f, a1) fft(div_num, f, a2) wn = Complex(np.cos(2.0 * pi / num), np.sin(2.0 * pi / num) * f) w = Complex(1.0, 0.0) for i in range(0, div_num): args[i] = a1[i] + w * a2[i] args[i + div_num] = a1[i] - w * a2[i] w = w * wn aa = [] bb = [] for j in range(0, n + 1): aa.append(Complex(float(read()), 0.0)) for j in range(0, m + 1): bb.append(Complex(float(read()), 0.0)) nn = 1 while nn < n + m + 1: nn <<= 1 for j in range(n + 1, nn): aa.append(Complex(0.0, 0.0)) for j in range(m + 1, nn): bb.append(Complex(0.0, 0.0)) fft(nn, 1, aa) fft(nn, 1, bb) for j in range(0, nn): aa[j] = aa[j] * bb[j] fft(nn, -1, aa) for j in range(0, n + m + 1): print(int(aa[j].a / nn + 0.5), end=' ')
無奈Python實在是太慢了……
05結語
總算是學會了快速傅立葉變換，某種程度上說是彌補了過去的某些遺憾吧。
這裡貼一張大佬的圖，解釋了FFT的思路
這裡也推薦一下大佬的部落格，以供參考
快速傅立葉變換(FFT)詳解 - 自為風月馬前卒 - 部落格園 (cnblogs.com)
一小時學會快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform） - 知乎 (zhihu.com)