在時域頻域的訊號分析的過程中，一個常見的說法叫：頻域資料補零會讓時域資料內插。
意思是在頻域資料中多補幾個零，再做ifft(逆傅立葉變換)後的時域資料，會變得更加“細膩”，解析度會更高。
關於頻域補零讓時域內插，我有一點樸素的理解：
- 頻域資料已經包含了所有正弦波的資訊，IFFT解出的時域資料是否細膩，只能看時域資料的點數是否夠多。
- 做FFT/IFFT運算前後時域和頻域的資料的點數是一樣多的。
哦，是兩點，基於這兩點，我們只能把頻域資料中原本不存在的高頻資訊中加上0，再轉成時域訊號，這樣點數就夠多呀。頻域補零會讓時域取樣點增加。
基於這樣樸素的認知，看看下面兩張傅立葉級數的圖：
補兩個零：
以上，整個正弦波的週期時間沒變，但是取樣點多了，也就更"細膩"了。
這個網頁的的原始碼在https://gist.github.com/kazad/8bb682da198db597558c
對於學習頻域時域的直觀感受有很強的幫助。但是因為眾所周知的原因，裡面的個別js指令碼訪問不了。我已經將其下載好，放在github地址: https://github.com/Binfun/fourier_transform
如果補的零再增加的話，那麼這些點數就慢慢趨近於一個正常的正弦波了：
通過以上示例，僅僅是直觀地理解頻域補零->時域插值是沒有問題的。
但是上面的例子還是有點兒“問題”
在FFT的世界中，上圖的描述不準確，而是下圖：
在實踐過程中，對FFT後的頻域結果，如果要補零則是補在中間（高頻補零），再進行IFFT(逆傅立葉變換)轉成時域。 知道這句話則足夠了，以下內容，則是我對於這個現象的樸素的解釋。
在上兩圖中，四個點的頻域資料，2HZ和-2Hz是一回事，3Hz和-1Hz也是一回事。就像觀察一座山，3Hz是順時針，分別從東南西北去觀察，-1Hz是逆時針，分別從東北西南方向去看而已。
在DFT/FFT計算3Hz時，根據DFT的公式，會計算相位點(數字都會乘以2pi，為方便顯示，以下省略2pi)：
[0，-3/4, -6/4， -9/4]。該序列可以看作是，順時針依次遞增3/4個2pi。所以它可以看做是3Hz。
將序列[0，-3/4, -6/4， -9/4]中的整數去掉，一個整數就代表一個2pi，一個2pi就代表轉動了一圈回到原點。
會得到[0，-3/4, -2/4， -1/4]。這樣看序列的話，逆時針依次增加1/4個2pi，所以它可以看做是 -1Hz 。
如果頻域資料的點數是N，假設任意一個點的正頻率表示為A，那麼其負頻率表示就是A-N。
那麼為什麼FFT之後的頻域資料，前半部分是以正頻率表示，後半部分以負頻率表示呢？
我們對1Hz的頻點取個30度的初始相位(以1:30表示)，然後在後面補零，此刻它是1Hz的正弦波：
我們對序列[0 1:30]中間插18個0，即數字1在序列的最後一位，此時序列有20個頻點，最後一個頻點正頻率的角度是19Hz，負頻率的角度是-1Hz。我們現在觀察下圖黃點連成的線，此刻它是一個 -1Hz的正弦波，並且也是30度的初始相位，而並非是19Hz。
可以把上面兩張圖結合起來看：
最後基於以上的實驗，我樸素地再理解一下，在FFT的世界中，無法支撐起大於等於總點數一半的正頻率，所以前半部分是正頻率，後半部分是負頻率。而高頻的判斷標準是其絕對值，所以高頻在中間。