複數域傅立葉級數
由尤拉公式:
\[e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta)
\]
那麼正餘弦函式可以表示為:
\[cos(n\omega t) = \frac{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}}{2} \\
sin(n\omega t) = \frac{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}}{2i}
\]
將上式代入傅立葉級數可得：
\[f(t) = c_0 + \sum{[a_n\frac{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}}{2} + b_n\frac{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}}{2i}]} \\
\]
上式\(b_n\)項，上下同乘\(i\),得:
\[f(t) = c_0 + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t} + \frac{a_n + jb_n}{2}e^{-jn\omega t}]} \quad\quad (1)
\]
前面推導得出:
\[b_n = \frac{2}{T}\int{f(t)sin(n\omega t)}dt \\
a_n = \frac{2}{T}\int{f(t)cos(n\omega t)}dt
\]
當\(n \leq 0\)時，上式也成立
假設存在-n項，則:
\[a_{-n}=\frac{2}{T}\int{f(t)cos(-n\omega t)}dt = a_n \\
b_{-n}=\frac{2}{T}\int{f(t)sin(-n\omega t)}dt = -b_n
\]
(1) 可以寫作
\[f(t) = c_0 + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t}]} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{[\frac{a_{-n} + jb_{-n}}{2}e^{-jn\omega t}]} = \\
c_0e^{0j\omega t} + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t}]} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}e^{-jn\omega t}]} = \\
\sum_{-\infty}^{\infty}{[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}e^{jn\omega t}]}
\]
對於係數\(A_n=[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}]\) 展開如下:
\[A_n=\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}= \frac{ \frac{2}{T}\int{f(t)cos(n\omega t)}dt - j \frac{2}{T}\int{f(t)sin(n\omega t)}dt}{2} = \\
\frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[cos(n\omega t) - jsin(n\omega t)]\rbrace}dt = \\ \frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[cos(-n\omega t) + jsin(-n\omega t)]\rbrace} dt
= \\ \frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[e^{-jn\omega t}]\rbrace} dt
\]
這就是週期訊號在複數域的表達，值得注意的是，將頻率\(n \omega t\)的原本的傅立葉級數項展開成了正負(\(+n\omega t, -n\omega t\))兩項，而負頻率在顯示世界中是沒有意義的。其模\(|A_n|\)表示了第n項的功率的一般，其虛部和實部的比的反正切是第n項的相位