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1 三角級數 (不重要)

(1) 簡諧振動函式

$$y=A\text{sin}(\omega t+\phi )$$

  說明：
    (1) 該函式的週期：$\frac{2\pi }{\omega }$
    (2) 振幅：$A$
    (3) 角頻率：$\omega$
    (4) 初相：$\phi$

(2) 非正弦周期函式

  對於週期為$T$的非正弦周期函式，可以用一系列以$T$為週期的正弦函式$\text{sin}(n\omega t+{\phi }_n)$表示：
$$f(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\text{sin}(n\omega t+{\phi }_n)(n=1,2,3,...)$$

  其中，$A_0$、$A_n$、${\phi }_n$ 均為常數.

  說明：
    (1) 這種展開周期函式的行為被稱為：諧波分析.
    (2) 直流分量：$A_0$
    (3) 一次諧波：$A_1\text{sin}(\omega t+{\phi }_1)$
    (4) 二次諧波：$A_2\text{sin}(2\omega t+{\phi }_2)$
    (5) $n$次諧波：$A_n\text{sin}(n\omega t+{\phi }_n)$

(3) 以$2l$為週期的三角級數

  對非正弦周期函式的展開進行變形代換可得三角級數：
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}\frac{n\pi t}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi t}{l})(n=1,2,3,...)$$

    其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$ 均為常數.

(4) 以$2\pi$為週期的三角級數

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)(n=1,2,3,...)$$

    其中，$a_0$、$a_n$、$b_n$ 均為常數.

(5) 三角函式系

  三角函式系：
$$1,\text{cos}x,\text{sin}x,\text{cos}2x,\text{sin}2x,...,\text{cos}nx,\text{sin}nx,...$$

  三角函式系的正交性：

    三角函式系中任何兩個不同函式的乘積在$[-\pi ,+\pi ]$上的定積分等於$0$：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\text{cos}nx\text{d}x=0(n=1,2,3,...)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\text{sin}nx\text{d}x=0(n=1,2,3,...)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\text{sin}kx\cdot \text{cos}nx\text{d}x=0(k,n=1,2,3,...)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\text{cos}kx\cdot \text{cos}nx\text{d}x=0(k,n=1,2,3,...,k\ne n)$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\text{sin}kx\cdot \text{sin}nx\text{d}x=0(k,n=1,2,3,...,k\ne n)$$

    注意：
      (1) $1$也在三角函式系中，所以三角函式系中任意函式自身在$[-\pi ,+\pi ]$上的定積分也都等於$0$.
      (1) 三角函式系中兩個相同函式在$[-\pi ,+\pi ]$上的定積分不等於$0$，也不是定值.

2 傅立葉級數基本概念

(1) 傅立葉係數

  $f(x)$是定義在$(-\infty ,+\infty )$上週期為$2\pi$的函式.
$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{d}x$$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{cos}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{sin}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

  如果通過上面三個積分都存在，那麼它們定出的係數$a_0$、$a_1$、$b_1$、…就是$f(x)$的傅立葉係數.

(2) 傅立葉級數 ($\text{Fourier Series}$)

  將傅立葉係數代入以$2\pi$為週期的三角級數即得傅立葉級數：
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)$$

(3) 收斂定理 — 狄利克雷充分條件 ($\text{Dirichlet}$)

  設$f(x)$是以$2\pi$為週期的可積函式，如果$f(x)$滿足：
    (1) 在一個週期內連續或只有有限個第一類間斷點；
    (2) 在一個週期內至多隻有有限個極值點.
  則$f(x)$的傅立葉級數收斂，且

    當$x$是$f(x)$的連續點時，級數收斂於$f(x)$，即
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=f(x)$$

    當$x$是$f(x)$的間斷點時，級數收斂於$\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]$，即
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=\frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}$$

(4) 正弦級數和餘弦函式

正弦級數 (奇函式的傅立葉級數)

  奇函式的傅立葉級數是正弦級數：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{sin}nx$$

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{sin}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

  由來：當$f(x)$為奇函式時，$f(x)\text{cos}nx$是奇函式，$f(x)\text{sin}nx$是偶函式，所以
$$a_n=0$$$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{sin}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

    於是有$\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{sin}nx$.

餘弦級數 (偶函式的傅立葉級數)

  偶函式的傅立葉級數是餘弦級數：
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{cos}nx$$

$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{d}x$$$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{cos}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

  由來：當$f(x)$為偶函式時，$f(x)\text{cos}nx$是偶函式，$f(x)\text{sin}nx$是奇函式，所以
$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{d}x$$$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\text{cos}nx\text{d}x(n=1,2,3,...)$$$$b_n=0$$

    於是有$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{cos}nx$.

(5) 週期為$2l$的周期函式的傅立葉級數

$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi x}{l})$$

  傅立葉係數為：
$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{d}x$$

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

     注意與以$2\pi$為週期傅立葉級數的傅立葉係數對比.

  當$f(x)$為奇函式時，
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\text{sin}\frac{n\pi x}{l}(x\in C)$$

$$b_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

  當$f(x)$為偶函式時，
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\text{cos}\frac{n\pi x}{l}(x\in C)$$

$$a_0=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\text{d}x$$

$$a_n=\frac{2}{l}{\int }_0^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

3 傅立葉級數展開

(一) 將週期為$2\pi$的$f(x)$展開成傅立葉級數

  原理：根據收斂定理，$f(x)$的傅立葉級數在連續點處收斂於該點的函式值，而在間斷點收斂於該點左右極限的算術平均值. 所以$f(x)$的傅立葉級數展開式為：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)，x\in C$$

$$C\in \left\{x\right|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\}$$

  注意：仔細觀察傅立葉級數展開式的條件$C$. 它其實無非只考慮了一種情況： 即連續點處. $f(x)$的傅立葉級數在間斷點收斂於該點左右極限的算術平均值，與$f(x)$要麼不相等，要麼$f(x)$在此處無定義.

  步驟：
    step 1. 確定函式連續的部分 (找出間斷點).
    step 2. 計算傅立葉係數$a_0$、$a_n$、$b_n$ ($n=1,2,3,...$).
    step 3. 將傅立葉係數代入傅立葉級數展開式即可.

  例. 設$f(x)$是週期為$2\pi$的周期函式，它在$[-\pi ,\pi )$上的表示式為：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi ⩽x<0,\\ 1,& 0⩽x<\pi .\end{array}$$

    將$f(x)$展開成傅立葉級數.
  
  解：
    當$x\ne k\pi$時，級數收斂於$f(x)$.
$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{d}x=0$$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{n\pi }[-(\text{cos}nx)]{|}_0^{\pi }$$$$=\frac{2}{n\pi }(-\text{cos}n\pi +1)=\frac{2}{n\pi }[1-(-1{)}^n]=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi }& n=1,3,5,...\\ 0,& n=2,4,6...\end{array}$$

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=\frac{4}{\pi }[\text{sin}x+\frac{1}{3}\text{sin}3x+...+\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x+...]$$$$=\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x(-\infty <x<+\infty ，x\ne m\pi ，m\in Z)$$

(二) $f(x)$只在$[-\pi ,\pi ]$上有定義

  如果$f(x)$只在$[-\pi ,\pi ]$上有定義，且在$[-\pi ,\pi ]$上滿足收斂定理的條件，則$f(x)$經過週期延拓也可以展開成傅立葉級數.

(1) 週期延拓

  通過在$(-\pi ,\pi ]$或$[-\pi ,\pi )$外補充函式$f(x)$的定義，使之拓廣成以$2\pi$為週期的周期函式$F(x)$，這種拓廣函式定義域的過程稱為週期延拓.

  注意：題目中的$f(x)$會給出$(-\pi ,\pi ]$或$[-\pi ,\pi )$上的表示式.

(2) 週期延擴充開成傅立葉級數

  步驟：
    step 1. 對$f(x)$定義域進行週期延拓，得到周期函式$F(x)$.
    step 2. 將$F(x)$展開成傅立葉級數.
    step 3. 限制$x$在$(-\pi ,\pi )$內，此時在$(-\pi ,\pi )$內$F(x)\equiv f(x)$.
    step 4. 檢查端點處 ($x=\pm \pi$) 是否也收斂於$f(x)$.

  注意：
    經過週期延擴充開成的傅立葉級數，需要考慮單獨考慮端點處是否收斂. 因為週期延拓以後，左右端點既可能成為連續點，也可能成為間端點. 如果成為連續點，是符合冪級數展開式條件的，就需要考慮在內. 這一步也可以在完成周期延拓以後就檢查.
    總之，最後寫範圍的時候，判斷端點處是否需要考慮，就看端點處在延拓以後是否連續. 連續就要加上，不連續就不包含.

(三) $f(x)$只在$[0,\pi ]$上有定義

  如果$f(x)$只在$[0,\pi ]$上有定義，且在$[0,\pi ]$上滿足收斂定理的條件，則$f(x)$經過奇延拓(或偶延拓)也可以展成傅立葉級數，且此級數必為正弦級數或餘弦級數.

(1) 奇延拓

    通過在$(-\pi ,0)$內補充$f(x)$的定義，得到定義在$(-\pi ,\pi ]$上的$F(x)$，使它在$(-\pi ,\pi )$上成為奇函式 (若$f(0)\ne 0$，則規定$F(0)=0$). 這種拓廣函式定義域的過程稱為奇延拓.

  由此可見，奇函式的傅立葉級數必定只有正弦項，必定是正弦級數.

(2) 偶延拓

    通過在$(-\pi ,0)$內補充$f(x)$的定義，得到定義在$(-\pi ,\pi ]$上的$F(x)$，使它在$(-\pi ,\pi )$上成為偶函式. 這種拓廣函式定義域的過程稱為偶延拓.

  由此可見，偶函式的傅立葉級數必定只有餘弦項，必定是餘弦級數.

(3) 奇延擴充開成正弦級數

  步驟：
    step 1. 對$f(x)$定義域進行奇延拓，得到$F(x)$.
    step 2. 將$F(x)$展開成傅立葉級數，這個級數必為正弦級數.
    step 3. 限制$x$在$(0,\pi ]$內，此時在$(0,\pi ]$內$F(x)\equiv f(x)$.

(4) 偶延擴充開成餘弦級數

  步驟：
    step 1. 對$f(x)$定義域進行偶延拓，得到$F(x)$.
    step 2. 將$F(x)$展開成傅立葉級數，這個級數必為餘弦級數.
    step 3. 限制$x$在$(0,\pi ]$內，此時在$(0,\pi ]$內$F(x)\equiv f(x)$.

(四) 週期為$2l$的周期函式的傅立葉級數展開

  設週期為$2l$的周期函式$f(x)$滿足收斂定理的條件，則它的傅立葉級數展開式為：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}\frac{n\pi x}{l}+b_n\text{sin}\frac{n\pi x}{l})(x\in C)$$

$$C\in \left\{x\right|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\}$$

  其傅立葉係數為：
$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{d}x$$

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{cos}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\text{sin}\frac{n\pi x}{l}\text{d}x(n=1,2,3,...)$$

  方法：與週期為$2\pi$的$f(x)$的展開方法一樣，不再贅述. 二者區別僅在於傅立葉係數和傅立葉級數. 針對不同的區間也可以進行延拓.

4 傅立葉級數的和函式與和函式圖形

  傅立葉級數展開，只考慮連續點的情況，是把函式展開為傅立葉函式.
  而求傅立葉級數的和函式，要綜合考慮連續點和間斷點的情況. 是把傅立葉級數轉換為函式.

  考試不會直接考察求已知傅立葉級數的和函式，而是在已知$f(x)$基礎上，再根據收斂定理確定間斷點的值，直接寫出和函式或者繪製出和函式的圖形. 也就是：
$$s(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in C,\\ \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2},& x\notin C.\end{array}$$

$$C\in \left\{x\right|f(x)=\frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)]\}$$

  例. 設$f(x)$是週期為$2\pi$的周期函式，它在$[-\pi ,\pi )$上的表示式為：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1,& -\pi ⩽x<0,\\ 1,& 0⩽x<\pi .\end{array}$$

    將$f(x)$展開成傅立葉級數，求出級數的和函式，並作出級數的和函式.
  
  解：
    當$x=k\pi$時，級數收斂於
$$\frac{-1+1}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$$
    當$x\ne k\pi$時，級數收斂於$f(x)$.
$$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{d}x=0$$

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{cos}nx\text{d}x=0$$

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\text{sin}nx\text{d}x=\frac{2}{n\pi }[-(\text{cos}nx)]{|}_0^{\pi }$$$$=\frac{2}{n\pi }(-\text{cos}n\pi +1)=\frac{2}{n\pi }[1-(-1{)}^n]=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi }& n=1,3,5,...\\ 0,& n=2,4,6...\end{array}$$

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\text{cos}nx+b_n\text{sin}nx)=\frac{4}{\pi }[\text{sin}x+\frac{1}{3}\text{sin}3x+...+\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x+...]$$$$=\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2k-1}\text{sin}(2k-1)x(-\infty <x<+\infty ，x\ne m\pi ，m\in Z)$$

  設級數的和函式為$s(x)$，於是
$$s(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\ne m\pi ，m\in Z,\\ 0,& x=m\pi ，m\in Z.\end{array}$$

  和函式影像為：

    (間斷點處的函式值"居於中間"，可簡記為：兩頭挖空居中間)