傅立葉在影像處理應用

傅立葉變換在影像處理中有非常非常的作用。簡單的說，傅立葉變換就是將影像變換成一個頻譜圖，顯示出各種頻率分量。因為不僅傅立葉分析涉及影像處理的很多方面，傅立葉的改進演算法，

比如離散餘弦變換，gabor與小波在影像處理中也有重要的分量。

印象中，傅立葉變換在影像處理以下幾個話題都有重要作用：
1.影像增強與影像去噪
絕大部分噪音都是影像的高頻分量，通過低通濾波器來濾除高頻——噪聲;  邊緣也是影像的高頻分量，可以通過新增高頻分量來增強原始影像的邊緣；
2.影像分割之邊緣檢測
提取影像高頻分量
3.影像特徵提取：
形狀特徵：傅立葉描述子
紋理特徵：直接通過傅立葉係數來計算紋理特徵
其他特徵：將提取的特徵值進行傅立葉變換來使特徵具有平移、伸縮、旋轉不變性
4.影像壓縮
可以直接通過傅立葉係數來壓縮資料；常用的離散餘弦變換是傅立葉變換的實變換；

傅立葉變換
傅立葉變換是將時域訊號分解為不同頻率的正弦訊號或餘弦函式疊加之和。連續情況下要求原始訊號在一個週期內滿足絕對可積條件。離散情況下，傅立葉變換一定存在。岡薩雷斯版<影像處理>裡面的解釋非常形象：一個恰當的比喻是將傅立葉變換比作一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分解為不同顏色的物理儀器，每個成分的顏色由波長（或頻率）來決定。傅立葉變換可以看作是數學上的稜鏡，將函式基於頻率分解為不同的成分。當我們考慮光時,討論它的光譜或頻率譜。同樣,傅立葉變換使我們能通過頻率成分來分析一個函式。
傅立葉變換有很多優良的性質。比如線性，對稱性（可以用在計算訊號的傅立葉變換裡面）;

時移性：函式在時域中的時移，對應於其在頻率域中附加產生的相移，而幅度頻譜則保持不變；

頻移性：函式在時域中乘以e^jwt，可以使整個頻譜搬移w。這個也叫調製定理，通訊裡面訊號的分頻多工需要用到這個特性（將不同的訊號調製到不同的頻段上同時傳輸）；
卷積定理：時域卷積等於頻域乘積；時域乘積等於頻域卷積（附加一個係數）。（影像處理裡面這個是個重點）

 

訊號在頻率域的表現
在頻域中，頻率越大說明原始訊號變化速度越快；頻率越小說明原始訊號越平緩。當頻率為0時，表示直流訊號，沒有變化。因此，頻率的大小反應了訊號的變化快慢。高頻分量解釋訊號的突變部分，而低頻分量決定訊號的整體形象。
在影像處理中，頻域反應了影像在空域灰度變化劇烈程度，也就是影像灰度的變化速度，也就是影像的梯度大小。對影像而言，影像的邊緣部分是突變部分，變化較快，因此反應在頻域上是高頻分量；影像的噪聲大部分情況下是高頻部分；影像平緩變化部分則為低頻分量。也就是說，傅立葉變換提供另外一個角度來觀察影像，可以將影像從灰度分佈轉化到頻率分佈上來觀察影像的特徵。書面一點說就是，傅立葉變換提供了一條從空域到頻率自由轉換的途徑。對影像處理而言，以下概念非常的重要：

影像高頻分量：影像突變部分；在某些情況下指影像邊緣資訊，某些情況下指噪聲，更多是兩者的混合；
低頻分量：影像變化平緩的部分，也就是影像輪廓資訊
高通濾波器：讓影像使低頻分量抑制，高頻分量通過
低通濾波器：與高通相反，讓影像使高頻分量抑制，低頻分量通過
帶通濾波器：使影像在某一部分的頻率資訊通過，其他過低或過高都抑制
還有個帶阻濾波器，是帶通的反。

模板運算與卷積定理
在時域內做模板運算，實際上就是對影像進行卷積。模板運算是影像處理一個很重要的處理過程，很多影像處理過程，比如增強/去噪（這兩個分不清楚），邊緣檢測中普遍用到。根據卷積定理，時域卷積等價與頻域乘積。因此，在時域內對影像做模板運算就等效於在頻域內對影像做濾波處理。
比如說一個均值模板，其頻域響應為一個低通濾波器；在時域內對影像作均值濾波就等效於在頻域內對影像用均值模板的頻域響應對影像的頻域響應作一個低通濾波。

影像去噪
影像去噪就是壓制影像的噪音部分。因此，如果噪音是高頻額，從頻域的角度來看，就是需要用一個低通濾波器對影像進行處理。通過低通濾波器可以抑制影像的高頻分量。但是這種情況下常常會造成邊緣資訊的抑制。常見的去噪模板有均值模板，高斯模板等。這兩種濾波器都是在區域性區域抑制影像的高頻分量，模糊影像邊緣的同時也抑制了噪聲。還有一種非線性濾波-中值濾波器。中值濾波器對脈衝型噪聲有很好的去掉。因為脈衝點都是突變的點，排序以後輸出中值，那麼那些最大點和最小點就可以去掉了。中值濾波對高斯噪音效果較差。

椒鹽噪聲：對於椒鹽採用中值濾波可以很好的去除。用均值也可以取得一定的效果，但是會引起邊緣的模糊。
高斯白噪聲：白噪音在整個頻域的都有分佈，好像比較困難。
岡薩雷斯版影像處理P185：算術均值濾波器和幾何均值濾波器（尤其是後者）更適合於處理高斯或者均勻的隨機噪聲。諧波均值濾波器更適合於處理脈衝噪聲。

影像增強
有時候感覺影像增強與影像去噪是一對矛盾的過程，影像增強經常是需要增強影像的邊緣，以獲得更好的顯示效果，這就需要增加影像的高頻分量。而影像去噪是為了消除影像的噪音，也就是需要抑制高頻分量。有時候這兩個又是指類似的事情。比如說，消除噪音的同時影像的顯示效果顯著的提升了，那麼，這時候就是同樣的意思了。
常見的影像增強方法有對比度拉伸，直方圖均衡化，影像銳化等。前面兩個是在空域進行基於畫素點的變換，後面一個是在頻域處理。我理解的銳化就是直接在影像上加上影像高通濾波後的分量，也就是影像的邊緣效果。對比度拉伸和直方圖均衡化都是為了提高影像的對比度，也就是使影像看起來差異更明顯一些，我想，經過這樣的處理以後，影像也應該增強了影像的高頻分量，使得影像的細節上差異更大。同時也引入了一些噪音。