數學女孩1 第九章續寫（傅立葉級數解決巴塞爾問題）

赤雷德發表於2019-04-11

這時，一個男孩向泰朵拉招手。似在詢問是否能過去。

泰朵拉望向米爾嘉，米爾嘉點了點頭。（嗯？）

“中國人。”米爾嘉說。

這時男孩也向我們說了話，“你們好，我是鄭浩，泰朵拉的同班同學，我是來自中國的交換生。”

泰朵拉的臉突然變紅，她看了我一眼。

真可愛。

他拿起了泰朵拉的筆記本。

“sin x=0的解集一定是實數啊。”

“鄭浩……你。”泰朵拉說。

但鄭浩開啟了話癆模式。

話癆？

“我們可以用反證法。

我們假設存在複數a+ib並且a，b∈R，b≠0使得sin（a+ib）=0.
複數的正弦怎麼可能，對啦，尤拉公式。

“我們有尤拉公式 enter image description here。 ”

“尤拉公式是怎麼回事。”泰朵拉問

我想到之前給泰朵拉講的級數，鄭浩還沒反應過來，我回答了。

“泰朵拉，是這樣的

我們之前不是求出了sin x的冪級數嗎， enter image description here

我們現在對cos x與e^x做同樣的事。”

話還未完，泰朵拉就拿過了筆。…

“學長讓我來。

“係數……cos x微分……e^x微分，嗯

學長是這個嗎？

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enter image description here”

“是的，很好。”

泰朵拉笑了。

“接下來我們把e^x的級數的x替換成ix,就有

enter image description here enter image description here

我們把不含 i 的放一邊，含 i 的放在另一邊，則可以得到： enter image description here enter image description here 把級數換成函式就得到了尤拉公式

enter image description here。 ”

“嗯，知道了謝謝學長。”泰朵拉說。

鄭浩繼續。

“我們知道

sin(a+ib)=sin a*cos ib+sin ib*cos a.

並且

只要將尤拉公式中的x替換成ix，-ix就有

e^i(ix)=e^(-x)=cos(ix)+isin(ix)

e^i(-ix)=e^x=cos(ix)-isin(ix) 解出

sin ix=(e^(-x)-e^x)/(i2)=i(e^x-e^(-x))/2=ish x,

cos ix=(e^x+e^(-x))/2=ch x.

因此，*sin（a+ib）=sin a*ch b+icos a*sh b.* ”

“sh x和ch x是雙曲正弦sinh x和雙曲餘弦cosh x嗎？”泰朵拉看著鄭浩問道。

“是的。沒想到你這也知道。”鄭浩說。

“我在課外書上見過。”

鄭浩繼續。

“我們令sin(a+ib)=0,

所以sin a*ch b+icos a*sh b=0，

即是sin a*ch b=0且icos a*sh b=0，

之前我們有a,b∈R，b≠0;

所以sh b≠0則cos a=0，於是sin a≠0，ch b≠0，故sin a*ch b≠0，與之前in a*ch b=0矛盾。

sin x=0無複數解。 ”

"雖然沒有表明正餘弦的和角公式對複數也成立，你的證明已經很完整了。”米爾嘉說。

我還以為已經嚴謹了，原來還有問題，不過這用復指數就能證明了吧。

"鄭浩原來你數學也這麼好。”泰朵拉像是發現了新世界。

“唉，某人只知道向學長問那會管我。”語畢，泰朵拉臉頰微紅，瞟了我一眼。
“泰朵拉你知道嗎，雖然我們把
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叫尤拉公式,但尤拉老師不是第一個證明它的人，尤拉老師在1748年的《無窮小分析引論》首次出現，而羅傑·柯茨在1714年就得到了等價形式
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但尤拉老師是使用最多的人，所以叫尤拉公式。不過巴塞爾問題真是尤拉老師第一個廣受讚譽的工作。”
“啊，還能這樣！”泰朵拉感慨道。
“數學史上這樣的事還很多呢。”鄭浩偏頭說道，“對啦，巴塞爾問題我還會其他的證法。”
他又一次開啟了話癆模式。
“我會用到傅立葉級數。”
“什麼是傅立葉級數呀！”泰朵拉站了起來。
“哎呀，我正在講。
“每個以2π為週期的函式f(x)都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示，就是說每個這樣的函式都有
f(x)=enter image description here”
米爾嘉將雙掌交叉，將雙手支在桌上平靜的說：“1807-1822年，法國數學家傅立葉對它進行了實證物理觀點的基本數學研究，不過他的研究還是以對於分析的基本概念的舊解釋作為基礎的。最後，在1829年，德國數學家狄裡赫雷以近代數學中所要求的嚴謹性，證明了以2a/2π為週期，並且周期函式在有限的區間內,只有有限個和有限個極大值和極小值，就可以展開為一致收斂於它的傅立葉級數。”
“那麼，問題就是求出係數enter image description here了。”
“用研究函式最有力的工具之一的微分嗎。”泰朵拉說。
這是我之前告訴她的，真有心，細心。
“可不行歐，泰朵拉。sin x與cos x的微分是迴圈的。
enter image description here 所以微分是求不出係數的。”
“哦。謝謝學長。”泰朵拉有些喪氣。
“不過，”鄭浩說，“研究函式最有力的工具之一的還有，integral，積分。”
“鄭浩！”
“哈！”
“我教你學英語時，你記單詞可沒那麼積極啊。”泰朵拉看起來有些生氣。
“嗯。。。這不一樣啦。”
鄭浩趁機繼續。
“我們注意到
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總之就是對正餘弦乘積的（上下限為π和-π）積分為零，而對正弦正弦乘積或餘弦餘弦乘積，只有當頻率相同（也就是x的係數）時積分才為 π。 記住它後面就好辦了。”

“哎呀，積分是什麼我還不知道呢。”泰朵拉突然說。

我又跟她解釋了一下。

鄭浩繼續。

“如此，我們就可以得到
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k≠0 enter image description here

這樣係數就求出來啦：

enter image description here ”
“哎呀，看得我頭疼，好複雜。”泰朵拉抱怨道。

我笑了笑，安慰道：“其實也不復雜，它們是對應的，如果你要求cos nx的係數就用f(x)cos kx積分，如果你要求sin nx的係數就用f(x)sin kx積分,最後記住因子enter image description here就好了。”

泰朵拉思考了一會兒，點頭道：“謝謝學長。”

“如果用影像來理解就會更加理解。”米爾嘉接過筆，“我們考慮這樣的函式f(x)它在-π到0為-1，0到π為1，以2π為週期。enter image description here
然後用級數有限項和去逼近它。為了方便，我們只考慮-π到π內的影像。 因為這是一個奇函式，所以不用管常數項和餘弦係數。我們經過積分便有
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也就是說
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這樣
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“呀！這樣的段段函式被連續的函式表示出來啦！”泰朵拉很是驚訝。

什麼段段函式呀？唉，泰朵拉。

“這可是一個動態過程，讓我們繼續下去。”米爾嘉繼續。

“我們在座標系上分別畫出

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enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here enter image description here ”

“這好像一層層的波浪的疊加呀！波浪的起伏相消相減就得到了f(x)嗎？”泰朵拉用手在空中比劃著。

“嗯，是的。還像音樂。”米爾嘉將手放在桌上，手指彈著她心裡的琴，“x的最小系數-1-（也就是級數中頻率最小的一項）是基音，而其他項是高次諧音，它們合起來就是一種音色，一個這樣的函式就是一種音色。你們聽到了嗎。”

這就用無限得到了有限嗎。

這時，鄭浩繼續。

“對巴塞爾問題我們用它就行了。我們令x=π/2就可以得到 enter image description here
是不是有一點巴塞爾問題的味道了，能平方就好！還好我們有積分。只要對函式在0到π積分 enter image description here
也就是enter image description here 可是，這裡只有奇數。本來從奇數得到偶數二倍加一就好了，但是這裡不行，只好乘二

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好了，巴塞爾問題解決了。 ”

哇，真是一次神奇的旅行呢。

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“鄭浩，沒想到你真厲害。”泰朵拉驚歎。

“小意思。”鄭浩臉上滿是驕傲。

“既然你們那麼積極，我們再將我們之前的完善一下。”米爾嘉說了話。

代數基本定理和因式分解定理嗎？

鄭浩和泰朵拉的眼裡放了光。

不過……

“放學啦。”瑞谷老師可真準時呀。看來只好作罷了，下次再講了。

…………

我們走到校門。

“學長學姐，我們走啦。再見。”泰朵拉向我們說。

他們一起？

“泰朵拉，……”鄭浩欲言又止。

“什麼?”

"沒，還有時間……”聲音漸漸聽不到了。

我們看著他們的背影遠去。

“鄭浩怎麼樣。”米爾嘉問。

“還可以。”

“嗯，他好像和你有些相像呢。”

是嗎，相像，哪裡。我沒說話。

“好，我們也走吧。”風扶著米爾嘉的黑髮。

校外的樹葉沙沙作響，起了綠浪。

水波，音波和音相奏。

                                                               就數學家而言，

                                                            數學絕不僅是人類文化的創造物，

                                                          她有自身的客觀存在性和生命軌跡，

                                               而且其中大部分表現出與物理世界驚人的一致性。

                                                                                                     ---羅傑·彭羅斯

參考書目
1.【日】結城 浩《數學女孩》朱一飛譯----北京：人民郵電出版社，2016.1（2017.8重印）
2.【英】羅傑·彭羅斯《通向實在之路》 王文浩譯----長沙：湖南科技出版社，2013.11
3.【德】菲利克斯·克萊因《高觀點下的初等數學》（第一卷） 復旦大學出版社
4.【俄】亞歷山大等《數學--它的內容，方法和意義》（第二卷）孫小禮等譯----北京：科學出版社，2001
5.【英】高爾斯（Gowers,T.）主編《普林斯頓數學指南》 齊民友譯----北京：科學出版社，2014.1

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