怎樣解題|題2.4.24：數列的極限

《怎樣解題：數學競賽攻關寶典（第3版）》第 57 頁：

---

令 b_n = 2ⁿa_n，則 b₁ = 2 且

我們已經得到了數列 { b_n } 的遞推公式，它也可以寫成以下形式：

目前還看不出這個數列的極限是什麼。我準備寫個程式來計算這個數列的前幾項的近似值。為了避免兩個相近的浮點數相減，進行分子有理化：

以下 C 語言程式計算數列 { a_n } 和 { b_n } 的前幾項的近似值：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
  long double a = 1, b = 2, c = 2;
  for (int i = 1; i <= 35; i++, c *= 2) {
    printf("%2d %.18Lf %.18Lf\n", i, a, b);
    a = sqrtl(0.5*(1-sqrtl(1-a*a)));
    b = 2*sqrtl(c)*b/(sqrtl(c+b)+sqrtl(c-b));
  }
}

執行結果如下（各欄依次為 n、a_n 和 b_n）：

 1 1.000000000000000000 2.000000000000000000
 2 0.707106781186547524 2.828427124746190098
 3 0.382683432365089772 3.061467458920718174
 4 0.195090322016128268 3.121445152258052285
 5 0.098017140329560602 3.136548490545939263
 6 0.049067674327418014 3.140331156954752912
 7 0.024541228522912288 3.141277250932772868
 8 0.012271538285719926 3.141513801144301076
 9 0.006135884649154477 3.141572940367091384
10 0.003067956762965977 3.141587725277159700
11 0.001533980186284767 3.141591421511199973
12 0.000766990318742703 3.141592345570117742
13 0.000383495187571406 3.141592576584872665
14 0.000191747597310712 3.141592634338562988
15 0.000095873799095969 3.141592648776985669
16 0.000047936899602973 3.141592652386591345
17 0.000023968449808130 3.141592653288992764
18 0.000011984224904348 3.141592653514593119
19 0.000005992112452739 3.141592653570993208
20 0.000002996056227501 3.141592653585093230
21 0.000001498028118274 3.141592653588618235
22 0.000000749014063660 3.141592653589499487
23 0.000000374507022783 3.141592653589719799
24 0.000000187253529485 3.141592653589774877
25 0.000000093626728555 3.141592653589788647
26 0.000000046813436653 3.141592653589792089
27 0.000000023406718326 3.141592653589792950
28 0.000000011703069659 3.141592653589793165
29 0.000000005850955785 3.141592653589793219
30 0.000000002926635810 3.141592653589793232
31 0.000000001463317905 3.141592653589793236
32 0.000000000736275143 3.141592653589793237
33 0.000000000368137572 3.141592653589793237
34 0.000000000164636127 3.141592653589793237
35 0.000000000000000000 3.141592653589793237

可以看出，數列 { b_n } 的極限是 π，也就是說這題的答案是 π。

但是，如何證明這一點？