問題:
我們如何構造一個序列，使他的極限為\(\sqrt{2}\)？
讓我們從一個根號二的近似 s 開始。
\(s\times\frac{2}{s}=2\)
因此，\(\sqrt2\) 在 s 和 \(\frac{2}{s}\) 之間。
故而，一個更好的近似是他們的算數平均值
new approximation = \(\frac{s+\frac{2}{s}}{2}\)
由幾何平均數小於等於算數平均數，故而
\(\sqrt2=\sqrt{s \times \frac{2}{s}} < \frac{s+\frac{2}{s}}{2}\)
我們生成一個序列\(s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}\)
則
\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}-\sqrt2 \tag1
\]
\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2s_n}\times(s_{n}^2+2-2_sn\sqrt2) \tag2
\]
\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2s_n}\times(s_{n}-\sqrt2)^2 \tag3
\]
\[s_{n+1}-\sqrt2=\frac{1}{2}(s_{n}-\sqrt2)\frac{(s_n-\sqrt2)}{s_n} \tag4
\]
又
\[\frac{(s_n-\sqrt2)}{s_n} <1
\]
故而
\[0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2}(s_{n}-\sqrt2) \tag5
\]
\[0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2^2}(s_{n-1}-\sqrt2) \tag5 \\...
\\0<s_{n+1}-\sqrt2 < \frac{1}{2^n}(s_{1}-\sqrt2)
\]
\[則 \lim_{n \to \infty} s_{n+1}-\sqrt2=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}(s_{1}-\sqrt2)=0
\]
故而
\[\lim_{n \to \infty} s_{n}=\sqrt2
\]
因此所求序列就是\(s_{n+1}=\frac{s_n+\frac{2}{s_n}}{2}\)