極限limit

The Limit

兩個重要極限

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1 \]

\[\displaystyle\lim_{x\to \infty}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \]

間斷點

1.第一類間斷點

第一類間斷點是指在該點附近的函式值存在，但在該點的極限不存在。具體來說，若 $ f(x) $ 在 $ x = c $ 附近的左極限和右極限都存在，但不相等，即：

\[ \lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+} f(x) \]

此時，函式在 $ x = c $ 處的值可以是有限的或無窮大。
2.第二類間斷點

第二類間斷點則是指在該點的極限不存在，且至少有一個方向的極限也不存在。即:

\[\lim_{x \to c} f(x) 不存在 \]

連續性

可導一定連續，連續不一定導數

\(y=f|x|\)在\(x=0\)處不可導
由連續可知

\[ \lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x) \]

\(f(x)\)在區間\([a,b]\)連續，\(f(x)_min<=f(x)<=f(x)_max\)

題型與解法

一些小技巧

1. 利用四則運算，分開算極限
2. 分子或者分母有理化
3. 因式分解
4. 常見的函式的性質:奇偶性
5. 換元法：三角換元，取倒數

取倒數

對於一些\(x\to \infty\)的情況，我們可以令\(t=\frac{1}{x}\)
則\(t\to 0\)轉為我們比較熟悉的極限求解
例如

\[\displaystyle\lim_{x\to\infty}xsin\frac{1}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=e \]

取指數

對於\(\forall x>0 ,x=e^{\ln x}\)，同理

\[\lim u(x)^{v(x)}=\lim e^{v(x)\ln u(x)} \]

透過這樣的操作，將指數分出，在求極限時可以有更多的變化

泰勒展開

1. 等價無窮小

   等價無窮小其實就是泰勒展開的特殊情況
   
   在求極限使用時，只有式子的因子可以這樣的用，如果直接當成加減法使用，答案會不正確，因為還有更小的沒有考慮到

2. 泰勒展開

泰勒展開公式

指數函式 \(e^{x}\)：

• 展開式為 \(e^{x}=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^{n}=1 + x+\frac{1}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

正弦函式 \(\sin x\)：

• 展開式為 \(\sin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3!}x^{3}+\frac{1}{5!}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

餘弦函式 \(\cos x\)：

• 展開式為 \(\cos x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{1}{2!}x^{2}+\frac{1}{4!}x^{4}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

自然對數函式 \(\ln(1 + x)\)：

• 展開式為 \(\ln (1+x)=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-1,1]\)。

函式 \(\frac{1}{1 - x}\)：

• 展開式為 \(\frac{1}{1 - x}=\sum_{n = 0}^{\infty}x^{n}=1 + x + x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

函式 \(\frac{1}{1 + x}\)：

• 展開式為 \(\frac{1}{1 + x}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=1 - x + x^{2}-x^{3}+\cdots+(-1)^{n}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

7. 函式 \((1 + x)^{\alpha}\)：
   • 展開式為 \((1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^{n}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

反正切函式 \(\arctan x\)：

• 展開式為 \(\arctan x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}+\cdots+\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in[-1,1]\)。

反正弦函式 \(\arcsin x\)：

• 展開式為 \(\arcsin x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}=x+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{3}+\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}+\cdots+\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

正切函式 \(\tan x\)：

• 展開式為 \(\tan x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^{n}(1 - 4^{n})}{(2n)!}x^{2n - 1}=x+\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}+\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}+\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots\)，\(x\in(-1,1)\)。

正割函式 \(\sec x\)：

• 展開式為 \(\sec x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{5}{24}x^{4}+\frac{61}{720}x^{6}+\cdots\)，\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)。

餘割函式 \(\csc x\)：

• 展開式為 \(\csc x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n + 1}2(2^{2n - 1}-1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 4}=\frac{1}{x}+\frac{1}{6}x+\frac{7}{360}x^{3}+\frac{31}{15120}x^{3}+\frac{127}{604800}x^{7}+\frac{73}{3421440}x^{9}+\frac{1414477}{65383718400}x^{11}+\cdots\)，\(x\in(0,\pi)\)。

餘切函式 \(\cot x\)：

• 展開式為 \(\cot x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}x^{3}-\frac{2}{945}x^{5}-\cdots\)，\(x\in(0,\pi)\)。

雙曲正弦函式 \(\sinh x\)：

• 展開式為 \(\sinh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}=x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{7}}{7!}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

雙曲餘弦函式 \(\cosh x\)：

• 展開式為 \(\cosh x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\frac{x^{6}}{6!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\)，\(x\in(-\infty,+\infty)\)。

雙曲正切函式 \(\tanh x\)：

• 展開式為 \(\tanh x=\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n - 1}}{(2n)!}=x-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{2}{15}x^{5}-\frac{17}{315}x^{7}+\frac{62}{2835}x^{9}-\frac{1382}{155925}x^{11}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt\frac{\pi}{2}\)。

雙曲正割函式 \(\operatorname{sech} x\)：

• 展開式為 \(\operatorname{sech} x=\sum_{n = 0}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{3}{40}x^{5}-\frac{5}{112}x^{7}+\frac{35}{1152}x^{9}-\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt1\)。

反雙曲正弦函式 \(\operatorname{arcsinh} x\)：

• 展開式為 \(\operatorname{arcsinh} x=\ln 2x-\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}=\ln 2x-\left(\frac{1}{4}x^{-2}+\frac{3}{32}x^{-4}+\frac{15}{288}x^{-6}+\cdots+\left(\frac{(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}\right)\frac{x^{-2n}}{2n}+\cdots\right)\)，\(\vert x\vert\gt1\)。

反雙曲正切函式 \(\operatorname{arctanh} x\)：

• 展開式為 \(\operatorname{arctanh} x=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}=x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}+\cdots+\frac{x^{2n + 1}}{2n + 1}+\cdots\)，\(\vert x\vert\lt1\)。

例題： $$ \displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{x-sinx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{x-(x-x^3+o(x^3))}{x^3}=1 $$

其實你可以發現，用泰勒展開就可以得到等價無窮小
泰勒展開的唯一要求就是在展開時，展開的最高此項與已有的相同

夾逼定理

大白話：夾逼定理就是透過左右放縮，使得趨於極限時，左右的值都接近，使得原式不得不與左右值相近

從某項起，即當\( (n > N)\)時，有\((y_n\leqslant x_n\leqslant z_n)\)。

\[\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\lim\limits_{n\to\infty}z_n = a \]

那麼數列\({x_n}\)的極限存在，且\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = a\)

洛必達法則

使用時需注意\(x=x_0\)處的領域有定義

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=....=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)} \]

例題

\[\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(\int_{0}^{x}e^tdt)^2}{\int_{0}^{x}e^{t^2}dt}=\lim_{x \to 0}\frac{2(\int_{0}^{x}e^tdt)}{e^{x^2-x}}=\lim_{x\to0}\frac{2e^x}{(2x-1)e^{x^2-x}}=-2 \]

拉格朗日中值定理

使用條件:$ f(x) $ 在 \(（x_1,x_2）\)可導

令$x_1<x_2 $ 則 $ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\epsilon), \epsilon \in(x_1,x_2)$

例題

\[\lim_{x\to 0^+}\frac{sinx-sin(sinx)}{x^3}=\lim_{x\to0^+}\frac{(sinx-x)f'(\epsilon)}{x^3}=\lim_{x\to 0^+}\frac{(sinx-x)cos\epsilon}{x^3} =\lim_{x\to0^+}\frac{(x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)-x)cos\epsilon}{x^3}=-\frac{1}{3} \\ 由\epsilon \in (sinx,x) 則 lim_{x\to 0^+}\epsilon=0 \\ 即lim_{x\to 0^+}cos\epsilon=1 \\ \]