第一章 極限與連續

1 兩個重要極限

重要極限	原型	變型	通式
1	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinkx}{x}=k$	$\underset{\square \to 0}{\lim }\frac{sin\square }{\square }=1$
2	$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$	$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{k}{x+a}{)}^x=e^k$	$\underset{\square \to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{\square }{)}^{\square }=e$

重要極限2針對型別：$\underset{x\to \infty }{\lim }(\frac{x+a}{x+b}{)}^{cx+b}$；$1^{\infty }$

2 等價無窮小

(1)無窮小的階

名稱	表現形式	記號
高階無窮小	$\lim \frac{\alpha }{\beta }$	$\alpha =o(\beta )$
同階無窮小	$\lim \frac{\alpha }{\beta }=k(k\ne 0)$	$\alpha =O(\beta )$
等價無窮小	$\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$	$\alpha \sim \beta$

(2)等價無窮小

當$x\to \infty$時，

① $x\sim sinx\sim tanx\sim arcsinx\sim arctanx\sim e^x-1\sim ln(1+x)$

② $1-cosx\sim x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$；        ③ $a^x-1=xlna$；

④ $tanx-sinx\sim \frac{1}{2}{x}^3$;                      ⑤ $tanx-x\sim x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$;

⑥$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3$

強調：以上極限可以將$x$改為任意的無窮小，等價無窮小隻能用於乘法和除法，在加減法過程中不能輕易使用等價無窮小替換。

3 洛必達法則

基本形式	變形	洛必達法則
$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }$	$0\cdot \infty ;\infty -\infty ;1^{\infty };{\infty }^0;0^0$	$\underset{x}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

對於冪指函式型別，常用的方法是：①取對數；②求極限；③還原。

4 泰勒公式

設函式$f(x)$在點$x_0$的某個領域內有$n$階的連續倒數，則

$f(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^x(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o[(x-x_0{)}^n]$

注 在使用Piano型餘項的泰勒展開式中，要根據表示式確定展開式的階數.

5 間斷點

若函式$f(x)$在點$x_0$處不連續，則稱$x_0$為函式$f(x)$的間斷點

類別	間斷點	說明
第一類間斷點	可去間斷點	$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$
第一類間斷點	跳躍間斷點	$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$
第二類間斷點	其他間斷點	其他

6 閉區間連續函式的性質

（1）有界性定理

設$f(x)$在閉區間$[a,b]$上的連續函式，則$f(x)$在$[a,b]$上有界

（2）零點定理

設$f(x)$是閉區間$[a,b]$上的連續函式，且$f(a)f(b)<0$，則存在$\xi \in (a,b)$，使得：$f(\xi )=0$

(3)介值定理

設$f(x)$是閉區間$[a,b]$上的連續函式，M和m分別是函式$f(x)$在區間$[a,b]$上的最大值和最小值，任取$\mu$且$m<\mu <M$，則存在$\xi \in [a,b]$，使得：$f(\xi )=\mu$