函式的連續性
定義：\(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\iff f(x)\text{在}x_0\)處連續。
例題 若\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+bx^2,& \text{if } x \leq 0 \\ \frac{\sin bx}{x},& \text{if } x>0\end{array}\right.\)，在\(x=0\)處連續，則a，b的關係為什麼？
解：
因\(f(x)\)在分段點\(x=0\)處連續，\(\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)\)。
當\(x=0\)時，\(f(0)=a\)，\(\lim_{x\to 0^+} f(x)=a\)。
所以\(\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin bx}{x}=a\)，而\(\sin bx\sim bx\)，所以結果\(b=a\)。
函式的間斷點
定義：
間斷點：不連續的點即間斷點（一般都是沒有定義的點和分段點）。
第一類間斷點
特點：左右極限均存在
可去間斷點：\(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x) \not=f(x_0)\)。
跳躍間斷點：\(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\not=\lim_{x\to x_0^+} f(x)\)。
無窮間斷點
特點：\(\lim_{x\to x_0^-}=\infty\) 或 \(\lim_{x\to x_0^+}=\infty\)。只要有一側趨於無窮，就是無窮間斷點。
振盪間斷點
特點：間斷點兩側被函式無限振盪趨近。
例如：\(\sin \frac{1}{x},\cos \frac{1}{x}\)。
例題 函式\(f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}\)的可去間斷點有幾個？
解：
先判斷有多少個無定義點，分母為0無定義，可解得：\(x=0,x=\pm 1,x=\pm 2...\)。
從無定義點中找到可去間斷點：
當\(x\to 0\)，\(\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} \frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\lim_{x\to 0} \frac{1-x^2}{\pi}=\frac{1}{\pi}\)，極限存在，所以是可去間斷點。
當\(x\to 1\)，\(\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{\sin \pi x}=\lim_{x\to 1} \frac{-2x}{\pi\cos\pi x}=\frac{2}{\pi}\)，極限存在，所以是可去間斷點。
類似的，-1也是可去間斷點。
但+2，-2，+3，-3經計算可得知為無窮間斷點：
當\(x\to 2\)，\(\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\infty\rightarrow x=2\)為無窮間斷點。
因此該函式的可去間斷點有三個。