01-函式、極限、連續性、導數

為了加深在人工智慧、深度學習領域的學習，接下來會推出數學基礎系列部落格，加深自己在這領域的基礎知識。

一、函式

1、函式的定義

函式表示量與量之間的關係如：$A=\pi r^2$。更普遍的是用$y=f\left(x\right)$表示，其中x表示自變數，y表示因變數。函式在x₀處取得的函式值$y_0=y{\mid }_{x=x_0}=f\left(x_0\right)$。值得一提的是，符號只是一種表示，也可以用其他符號來表示，比如：$y=g\left(x\right)$、$y=\phi \left(x\right)$、$y=\psi \left(x\right)$等。

2、常用函式形式

分段函式：$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\sqrt{x},& x⩾0\\ -x,& x<0\end{array}$

反函式：$h=\frac{1}{2}g{t}^2\to h=h\left(t\right)\to t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\to t=t\left(h\right)$

顯函式：$y=x^2+1$

隱函式：$F(x,y)=0$，$3x+y-4=0$

3、函式特點

奇函式：相對於原點對稱的函式$f(-x)=-f\left(x\right)$，如$f\left(x\right)=x^3$，代入計算可得$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$。

偶函式：相當於Y軸對稱的函式$f(-x)=f\left(x\right)$，如$f\left(x\right)=x^2$，代入計算可得$f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$。

週期函式：經過一個週期T的變化函式值仍相等$f(x+T)=f\left(x\right)$，如常見的三角函式等。

單調性：分為單調遞增函式和單調遞減函式。

二、極限

1、數列

通俗的講就是一列有序的數：$u_1,u_2,...,u_n,...$，其中$u_n$叫做通項。對於數列$\left\{u_n\right\}$，如果當n無限增大時，其通項無限接近於一個常數A，則稱該數列以A為極限或稱數列收斂於A，否則稱數列為發散。$\underset{n\to \infty }{lim}{u}_n=A$，或$u_n\to A(n\to \infty )$，$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{1}{3^n}=0$，$\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n}{n+1}=1$，$\underset{n\to \infty }{lim}{2}^n$不存在。

2、極限

符號表示：

$x\to \infty$表示“當|x|無限增大時” ，

$x\to +\infty$表示“當x無限增大時” ，

$x\to -\infty$表示“當x無限減少時” ，

$x\to x_0$表示“當x從x₀的左右兩側無限接近於x₀時” ，

$x\to x_0^{+}$表示“當x從x₀的右側無限接近於x₀時” ，

$x\to x_0^{-}$表示“當x從x₀的左側無限接近於x₀時” ，

下面用幾個示例圖形象地表示極限

　

3、定義

函式在x₀的鄰域內有定義，有$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$，或$f\left(x\right)\to A(x-x_0)$。例如$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=2$

4、左右極限

函式在左半鄰域/右半鄰域內有定義$(x_0,x_0+\delta ),(x_0-\delta ,x_0)$，有

　

$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$的充要條件是$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=A$

有以下例題，求$f\left(x\right)$的極限

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x-1& x<0\\ 0& x=0\\ x+1& x>0\end{array}$

求解可得，當x->0時，f(x)的極限$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}(x+1)=1$，$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}(x-1)=-1$。左右極限存在但不相等，所以f(x)在x->0時極限不存在。

5、極限性質

無窮小：以零為極限，如函式$\underset{x\to \infty }{lim}\frac{1}{x}=0$，$\frac{1}{x}$是$x\to \infty$時的無窮小。$\underset{x\to 2}{lim}(3x-6)=0$，$3x-6$是$x\to 2$時的無窮小。

基本性質：

1.有限個無窮小的代數和仍是無窮小。

2.有限個無窮小的積仍是無窮小。

3.有界變數與無窮小的積仍是無窮小。

4.無限個無窮小之和不一定是無窮小。

　

5.無窮小的商不一定是無窮小。$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{2x}=0,\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{x^2}=\infty$

6.極限有無限小的關係：$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$的充要條件是$f\left(x\right)=A+\alpha \left(x\right)$，其中$\alpha \left(x\right)$是$x\to x_0$時的無窮小。

7.無窮大：並不是一個很大的數，是相對於變換過程來說。$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\infty$或$f\left(x\right)\to \infty (x\to x_0)$。

8.無窮小和無窮大的關係：在自變數的變換的同一過程中，如果f(x)為無窮大，那麼$\frac{1}{f\left(x\right)}$為無窮小。

9.無窮小的比較：$\alpha =\alpha \left(x\right),\beta =\beta \left(x\right)$都是無窮小，$\underset{x\to x_0}{lim}\alpha \left(x\right)=0,\underset{x\to x_0}{lim}\beta \left(x\right)=0$。有如下比較。

　

三、連續性

1、函式的連續性

設函式y=f(x)在點x₀的某鄰域內有定義，如果當自變數的改變數$\Delta x$趨近於0時，相應函式的改變數$\Delta y$也趨近於0，則稱y=f(x)在點x₀處連續。

　

函式的連續性，函式f(x)在點x₀處連續，需要滿足的條件：1、函式在該點有定義。2、函式在該點極限$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$存在。3、極限值等於函式值f(x₀)

例題，函式$f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x+1& x⩽0\\ \frac{\sin x}{x}& x>0\end{array}$在x=0處的連續性？

解：判斷左右界限是否存在且先等。如下圖所示

　

2、函式的間斷點

函式f(x)在點x=x₀處不連續，則稱其為函式的間斷點。一共三種情況為間斷點：1、函式f(x)在點x₀處沒有定義。2、函式在該點極限$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$不存在。3、滿足前兩點，但是$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\ne f\left(x\right)$。

當x->x₀時，f(x)的左右極限存在，則稱x₀為f(x)的第一類間斷點，第一類間斷點分為跳躍間斷點和可去間斷點，否則為第二類間斷點。

跳躍間斷點：$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$與$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$均存在，但不相等。

可去間斷點：$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$存在但不等於$f\left(x_0\right)$。

3、例題

函式$f\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$的連續性？

　

四、導數

平均速度很好表示，如v=s/t，但是如何表示瞬時速度呢？

瞬時經過路程：$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)$

這一小段的平均路程：$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$

當$\Delta t\to 0$時也就是瞬時速度了，$v\left(t_0\right)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\overline{v}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{s(t_0+\Delta t)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$。

導數：如果平均變化率的極限存在， $\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\Delta x)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$，則稱此極限為函式y=f(x)在點x₀處的導數f'(x₀)。$y^{\prime }{\mid }_{x=x_0},\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=x_0}$或$\frac{df\left(x\right)}{dx}{\mid }_{x=x_0}$。

下面列出常見函式的導數。

　

下面列出導數的運演算法則（最後一條不經常用）：

　

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