函式與極限 第一節 對映與函式

函式與極限

第一節 對映與函式
對映(運算元)的概念：設X,Y是兩個非空集合，如果存在一個對應法則f，使得對X中每個元素x（元素y在對映f下的一個原像），按法則f，在Y中有唯一確定的元素y（元素x在對映f下的像）與之對應，那麼稱f為從X到Y的對映，記作f：X rightarrow Y
定義域：X， Df
陪域：Y
值域：Rf=f(X)={f(x), x in X}
Rf subset Y
滿射：Rf=Y
單射：
forall x1,x2 in X
f(x1) neq f (x2)
雙射(一一對映)：即是單射又是雙射

函式	從實數集到實數集的對映
泛函	從非空集到數集的對映
變換	從非空集到它自身的對映

逆對映：記作f^(-1)
只有單射才有
複合對映：
g:X rightarrow Y1
f:Y2 rightarrow Z
記作f circ g: X rightarrow Z
f circ g(x)=f[g(x)]

函式：設數集D in R，則稱對映f：D rightarrow R為定義在D上的函式
定義域
1、實際定義域
2、自然定義域
函式的幾種特性
1、有界性
有上界：f(x)<=K1
有下界：f(x)>=K2
有界：exists M>0 |f(x)|<=M
無界：
forall M>0
exists x1 in D
st |f(x1)|>M
2、單調性
3、奇偶性
任意一個函式都可表示為一個奇函式和一個偶函式的和
f(x)=[f(x)+f(-x)]/2 + [f(x)-f(-x)]/2
4、週期性
狄利克雷(Dirichlet)函式
D(x)= 1 , x in Q
_____0 , x in Q©
沒有最小正週期，任何有理數都是它的最小正週期
其實常值函式也沒有最小正週期
反函式：y=f^(-1)(x)
它的原函式稱為直接函式
複合函式：y=f circ g(x)
其中u=g(x) , u稱為中間變數
函式的運算
D=Df cap Dg
和（差）：f pm g , x in D
積：f*g , x in D
商：f/g , x in D \ {x|g(x)=0 , x in D}
初等函式
基本初等函式
1、指數函式
2、對數函式
3、冪函式
4、三角函式
5、反三角函式
常數和基本初等函式經過有限次的四則運算和函式複合構成的能用一個式子表示的函式稱為初等函式

• 雙曲函式及其反函式在後文中詳細說明