數列遞推形式的極限&正定，負定，不定與形式導數

FakeOccupational發表於2020-10-16

數列遞推形式的極限&正定，負定，不定與形式導數

數列的遞推形式的極限：遞推函式單調增，數列單調

A = ( a b c d ) A=\left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d} \end{array}\right) A=(ac​bd​)
二 次 型 ( x , y ) ( a b c d ) ( x y ) 的 “ 形 式 導 數 ” ( a b c d ) ( x y ) 二次型 \quad (x,y)\left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d} \end{array}\right)\left( \begin{array} { l l } {x} \\ { y } \end{array}\right)\\的“形式導數”\left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d} \end{array}\right)\left( \begin{array} { l l } {x} \\ { y } \end{array}\right) 二次型(x,y)(ac​bd​)(xy​)的“形式導數”(ac​bd​)(xy​)

對於二階的二次型下列命題:

a.如果detA>0且a>0，則Q是正定的.
b.如果detA>0且a<0，則Q是負定的.
c.如果detA<0，則Q是不定的.

證明:如果B是mxn矩陣，那麼B’B是半正定的;如果B是nxn可逆矩陣，那麼BTB是正定的.

二元函式的泰勒展開&黑塞矩陣與極值

在 一 元 函 數 的 泰 勒 展 開 中 ， 擬 合 函 數 的 導 數 值 與 f ( x ) 在 x 0 處 的 導 數 一 致 在一元函式的泰勒展開中，擬合函式的導數值與f(x)在x_0處的導數一致 在一元函數的泰勒展開中，擬合函數的導數值與f(x)在x0​處的導數一致
多 元 函 數 ， 也 有 同 樣 的 性 質 f x 0 x 0 ( x − x 0 ) 2 + f x 0 y 0 ( x − x 0 ) ( y − y 0 ) + f y 0 x 0 ( y − y 0 ) ( x − x 0 ) + f y 0 y 0 ( y − y 0 ) 2 第 二 項 1 2 ! ( Δ x ∂ ∂ x + Δ y ∂ ∂ y ) 2 f ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) ( f x 0 x 0 f x 0 y 0 f y 0 x 0 f y 0 y 0 ) ( x y ) 多元函式，也有同樣的性質\\f_{x_0x_0}(x-x_0)^2+f_{x_0y_0}(x-x_0)(y-y_0)+f_{y_0x_0}(y-y_0)(x-x_0)+f_{y_0y_0}(y-y_0)^2\\ 第二項\frac{1}{2!}(Δx \frac{\partial}{\partial x}+Δy \frac{\partial}{\partial y})^2f(x_0,y_0)\\ (x,y)\left( \begin{array} { l l } { f_{x_0x_0} } & { f_{x_0y_0} } \\ { f_{y_0x_0} } & { f_{y_0y_0}} \end{array}\right)\left( \begin{array} { l l } {x} \\ { y } \end{array}\right) 多元函數，也有同樣的性質fx0​x0​​(x−x0​)2+fx0​y0​​(x−x0​)(y−y0​)+fy0​x0​​(y−y0​)(x−x0​)+fy0​y0​​(y−y0​)2第二項2!1​(Δx∂x∂​+Δy∂y∂​)2f(x0​,y0​)(x,y)(fx0​x0​​fy0​x0​​​fx0​y0​​fy0​y0​​​)(xy​)

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