平凡的函式 線性篩積性函式
題目描述
某一天，你發現了一個神奇的函式\(f(x)\)，它滿足很多神奇的性質：
\(1\)、\(f(1)=1\)
\(2\)、\(f(pc)=p⊕c\)
（\(p\) 為質數，\(⊕\)表示異或）。
\(3\)、\(f(ab)=f(a) \times f(b)\)
（\(a\) 與 \(b\)互質）。
你看到這個函式之後十分高興，於是就想要求出 \(\sum _{i=1}^nf(i)\)。
輸入格式
一行一個整數 \(n\)。
輸出格式
一行一個整數\(\sum _{i=1}^nf(i)\)。
樣例
樣例輸入 1
6
樣例輸出 1
16
樣例輸入 2
233333
樣例輸出 2
171806766
資料範圍與提示
共\(10\) 組測試資料。 對於第\(i\) 組測試資料，滿足\(n \leq min \{ 10^i,5 \times 10^7 \}\)
分析
不難發現這是一個積性函式
然後我們用類似於篩尤拉函式的方法去篩它
程式碼
#include<cstdio>
#include<cmath>
const int maxn=5e7+5;
bool not_pri[maxn];
int pri[maxn],n,f[maxn];
void xxs(){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!not_pri[i]){
pri[++pri[0]]=i;
f[i]=i^1;
}
for(int j=1;j<=pri[0] && pri[j]*i<=n;j++){
not_pri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
int cs=0,now=i*pri[j];
while(now%pri[j]==0){
now/=pri[j];
cs++;
}
//根據打表，這樣寫是線性的
f[i*pri[j]]=f[now]*(pri[j]^cs);
break;
}
else {
f[i*pri[j]]=f[i]*f[pri[j]];
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
f[1]=1;
not_pri[0]=not_pri[1]=1;
xxs();
long long ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=ans+f[i];
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}