尤拉篩（線性篩）

keep/發表於2020-08-24

尤拉篩

篩法我們肯定都不陌生，用來求一定序列內素數個數的方法麻，但在學習完埃氏篩法後（如果沒學過可以去學一下再看），我們發現它似乎做了很多多餘的操作，一個數會被他的質所有篩一遍，但我們本質上篩一遍就夠了，所以我們有沒有什麼方法取優化它呢？尤拉篩隨之而出，尤拉曬的特點便是一個數只會被它的最小質因子篩一遍，其它質因子不會篩它，這便大大提高了時間效率
程式碼如下
(懶的不想寫便把這個部落格裡的程式碼搬了一下)

for( int i=2;i<=n;i++ ) {
	if( !death[i] )
		primelist[++tail] = i;//record this new prime
	for( int k=1;k<=tail;k++ ) {
		if( primelist[k]*i > n ) break;
		death[primelist[k]*i] = 1;
		if( i%primelist[k] == 0 ) break;//!!!
	}	

}

death為我們的標記陣列（我覺的可以用map來寫，省）
尤拉篩相比埃氏篩的優點便在與if( i%primelist[k] == 0 ) break;這一句
當primelist[k]>primelistk1
時，因為primelist[k1]是i的最小質因子，所以它也是primelist[k]i的最小質因子
所以primelist[k]i會由primelist[k1]某個i更新出來，所以當primelist[k]>primelist[k1]時我們break;
將拒絕重複計算，而i比他最小質因子小的質數，則是在更新以該質數為最小質因子的合數。

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