尤拉函式性質和模版

Mr_Treeeee發表於2020-04-06
函式


  概念梳理：  

     尤拉函式是少於或等於n的數中與n互質的數的數目。 

     尤拉函式的性質：它在整數n上的值等於對n進行素因子分解後，所有的素數冪上的尤拉函式之積。

     尤拉函式的值 　通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1互質的數(小於等     於1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。比如12=2*2*3那麼φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4）

    推論：當n為奇數時，有φ(2n)=φ(n)。

    若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。

    設n為正整數，以 φ(n)表示不超過n且與n互素的正整數的個數，稱為n的尤拉函式值，這裡函式φ：N→N，n→φ(n)稱為尤拉函式。

    尤拉函式是積性函式——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

    特殊性質：當n為奇數時，φ(2n)=φ(n), 證明與上述類似。

   演算法實現與分析：

   求解尤拉函式的值可用φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)，容易知道要對n進行素因子分解。


直接求法：
#include <iostream>

using namespace std;
int f(int x)
{
    int ans=x;
    if(x==1) return 1;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)  ans=ans/i*(i-1);
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return  ans;
}

int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << f(n)<< endl;
    }
}



打表求法：
//篩選法求尤拉函式，時間複雜度O(nloglogn)
#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 100010;
int a[MAXN];

void init()
{
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
    {
        a[i]=i;
    }
    a[1]=0;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)
    {
        if(a[i]==i)
        {
            for(int j=i;j<=MAXN;j+=i)
            {
                a[j]=a[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    a[1]=1;
}

int main()
{
    init();
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        cout << a[n] << endl;
    }
}





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