凸集
凸集是數學中一個重要的概念，尤其是在幾何學、線性代數和最佳化理論中。在歐幾里得空間（如 (\mathbb{R}^n)）中，一個集合 ( C ) 被稱為凸集，如果對於集合中的任意兩點 ( x, y \in C )，連線這兩點的線段上的所有點也都屬於該集合 ( C )。
更形式化地說，給定一個集合 ( C \subseteq \mathbb{R}^n )，( C ) 是凸的當且僅當對於所有 ( x, y \in C ) 和所有實數 ( t ) 滿足 ( 0 \leq t \leq 1 )，有
[ tx + (1-t)y \in C. ]
這個定義意味著，如果你選取凸集內的任意兩個點，並考慮從其中一個點到另一個點的所有可能的直線路徑，那麼這些路徑上的每一點都必須仍然位於該集合內。
直觀上，你可以想象一個沒有“凹進去”部分的形狀。例如，圓形、橢圓、矩形、正方形等都是凸集的例子；而月牙形或環形則不是凸集，因為它們含有內部的空洞或凹陷，使得某些兩點之間的連線會落在集合之外。
凸集的概念不僅限於二維或三維空間，它可以擴充套件到任何維度的歐幾里得空間乃至更一般的向量空間中。此外，在最佳化問題中，很多有效的演算法和理論結果都是基於目標函式和約束條件所定義的區域是凸集的前提下的。
凸函式
凸函式是一個在數學領域，特別是在最佳化理論、實分析和凸分析中非常重要的概念。一個定義在某個實數區間上的函式 ( f ) 被稱為是凸的，如果對於該區間內的任意兩點 ( x_1 ) 和 ( x_2 )，以及任意 ( t ) 滿足 ( 0 \leq t \leq 1 )，都有以下不等式成立：
[ f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2) ]
這個不等式表明，連線函式影像上任意兩點的線段總是位於這兩點之間的函式影像之上或恰好在這條線上。直觀地說，這意味著函式影像是向上凸起的。
如果上述不等式中的“≤”可以嚴格取為“<”，除非 ( t = 0 ) 或 ( t = 1 )，那麼函式被稱為嚴格凸的。
另外，如果一個函式 ( -f ) 是凸的，那麼 ( f ) 就被稱為凹函式；同樣地，如果 ( -f ) 是嚴格凸的，那麼 ( f ) 就被稱為嚴格凹的。
凸函式有許多有用的性質，例如區域性極小值也是全域性極小值，這對於解決最佳化問題特別有用。此外，在某些條件下，凸函式還是連續的，並且它們的導數（如果存在）具有單調性。
性質
如何證明其的凸。注意，這裡的凸指的是下凸，例如 y = x^2 的影像，在影像任意兩點的連線上的點，均大於 y 上的點，這個性質。
問題
假設平面直角座標系中，有a點，座標為(a1,a2),有b點，座標為(b1,b2)，以ab為端點的線段中的點的座標，如何表示，為什麼？
解答
在平面直角座標系中，如果給定兩點 ( A(a_1, a_2) ) 和 ( B(b_1, b_2) )，那麼連線這兩點的線段上的任意一點 ( P(x, y) ) 可以用引數 ( t ) 來表示，其中 ( t ) 是一個實數且滿足 ( 0 \leq t \leq 1 )。這個引數 ( t ) 描述了從點 ( A ) 到點 ( B ) 的位置比例。
具體來說，線段上任意一點 ( P ) 的座標可以表示為：
[ P(x, y) = (tx_1 + (1-t)x_2, ty_1 + (1-t)y_2) ]
或者更明確地：
[ x = ta_1 + (1-t)b_1 ]
[ y = ta_2 + (1-t)b_2 ]
這裡，( t ) 的取值決定了點 ( P ) 線上段 ( AB ) 上的位置：
- 當 ( t = 0 ) 時，( P ) 點與 ( B ) 點重合，即 ( P = B )。
- 當 ( t = 1 ) 時，( P ) 點與 ( A ) 點重合，即 ( P = A )。
- 當 ( 0 < t < 1 ) 時，( P ) 點線上段 ( AB ) 內部，且 ( t ) 越接近 0，( P ) 點越靠近 ( B )；( t ) 越接近 1，( P ) 點越靠近 ( A )。
為什麼這樣表示？
這種表示方法基於向量的概念。如果我們把 ( A ) 和 ( B ) 看作是從原點出發的兩個向量，那麼從 ( A ) 到 ( B ) 的向量是 ( \vec{AB} = (b_1 - a_1, b_2 - a_2) )。對於線段上的任意一點 ( P )，我們可以將 ( P ) 看作是從 ( A ) 出發，沿著 ( \vec{AB} ) 方向移動一定距離後到達的位置。
移動的距離可以透過 ( t ) 來控制，( t ) 乘以 ( \vec{AB} ) 給出的是從 ( A ) 向 ( B ) 移動的距離。因此，點 ( P ) 的位置可以用以下向量方程來描述：
[ \vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} ]
[ \vec{OP} = (a_1, a_2) + t(b_1 - a_1, b_2 - a_2) ]
[ \vec{OP} = (a_1 + t(b_1 - a_1), a_2 + t(b_2 - a_2)) ]
[ \vec{OP} = (ta_1 + (1-t)b_1, ta_2 + (1-t)b_2) ]
這就是為什麼線段 ( AB ) 上的任意一點 ( P ) 的座標可以表示為 ( (ta_1 + (1-t)b_1, ta_2 + (1-t)b_2) )。這種表示方法直觀地反映了點 ( P ) 線上段 ( AB ) 上的位置，並且當 ( t ) 從 0 增加到 1 時，( P ) 從 ( B ) 移動到 ( A )。