「管理數學基礎」3.1 凸分析：凸集與凸集分離定理、Farkas引理

PiperNest (同公眾號)發表於2020-12-12

凸集與凸集分離定理、Farkas引理

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凸集

定義：凸集

注意凸集的定義，任取兩點滿足某個條件為凸集：

  • 證明是凸集的目標有了
  • 凸集的性質也有了，可以利用

凸集性質（逐個證明）

(1)


分析：

  • 任取 x A , y A ∈ λ C x_A,y_A \in \lambda C xA​,yA​∈λC，因為是要證明 λ C \lambda C λC是凸集
  • 也就是要對於所有的 x A , y A ∈ λ C , β ∈ [ 0 , 1 ] x_A,y_A \in \lambda C,\beta \in [0,1] xA​,yA​∈λC,β∈[0,1]，都有 β x A + ( 1 − β ) y A ∈ λ C \beta x_A + (1-\beta) y_A \in \lambda C βxA​+(1−β)yA​∈λC
  • 能利用的性質只有 C C C是凸集以及 C C C與 λ C \lambda C λC兩個集合的關係（從微觀上，一定存在 C C C中元素乘上實數 λ \lambda λ在 λ C \lambda C λC中），應該在二者間建立聯絡

(2)


分析：

  • 與上一題思路相同

(3)

有限個凸集的交集為凸集。

由以上凸集性質，我們做下面兩點例題。

分析：

  • 分別在集合間取元素，根據集合性質建立元素間關係
  • 然後帶回去，這樣從原理出發計算不會出錯

超平面

定義：超平面

分析：

  • a ′ x = b a' x = b a′x=b在 R 2 R^2 R2是直線，在 R 3 R^3 R3是平面，在 R k , k > 3 R^k,k>3 Rk,k>3當然就是超平面了
  • 注意 a a a實際上超平面的法向量，與超平面垂直； b ∈ R 1 b\in R^1 b∈R1決定了超平面的位置
  • 閉半空間一共有兩個（一側的點與法向量構成銳角，一側是銳角）

證明：超平面是凸集

很簡單，對於閉半空間是凸集同理，將 = = =換成 ≤ \le ≤或 ≥ \ge ≥即可。

定義：支撐超平面

分析：

  • “支撐”即超平面對這個空間的生成起了作用，“觸碰”到了這個空間

定義：多面體

多面體：

  • 是多胞形（上圖的多胞形定義，我覺得不對）
  • 有界非空

定義：凸錐

分析：

  • 經過原點 0 ⃗ \vec{0} 0 ，因此超平面中 b = 0 b=0 b=0
  • λ 1 x \lambda_1 x λ1​x 與 λ 2 y \lambda_2 y λ2​y 相加，實際上表示了兩個超平面的中和，即相互趨近

凸集分離定理

定義：分離

分析：

  • 兩個非空集合，可以被幾何的概念（超平面）分開，不重疊（但是可以重疊在超平面上）
  • 如果沒有 ≤ \le ≤與 ≥ \ge ≥即等號關係，則是嚴格分離

定義：凸集分離定理

如上是凸集分離定理（如果兩個集合是不相交的凸集，那麼可以被一個超平面分開）。

證明過程很長，證明並應用了：Weierstrass定理、點集嚴格分離定理、支撐超平面定理。

Farkas引理

定義：Farkas引理

用於後面的凸規劃，這裡注意一點：

  • (1)有解了，(2)必無解

證明：Farkas引理

首先，假設(1)有解，證明(2)無解即可；接著證明(1)無解情況下，(2)必有解，大概思路是：

  • ∀ y ∈ S \forall y \in S ∀y∈S，由(1)無解可得 b ∉ S b \notin S b∈/​S，由此，利用點集分離定理，得到 p ′ b < p ′ y p' b < p' y p′b<p′y
  • 進一步，由 0 ∈ S 0 \in S 0∈S，則有 p ′ b < 0 p'b < 0 p′b<0，現在(2)的第二個式子已經證明完畢了，接下來是第一個式子 p ′ A ≥ 0 p'A \ge 0 p′A≥0的證明

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