💡 問題描述
假設需要求解的凸問題表示如下：
\[ \begin{equation}
\begin{aligned}
&\underset{x}{\min}~f(x) \\
&{\rm s.t.}~~x \in S.
\end{aligned}
\end{equation}
\]
\(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)為凸函式, \(S\)為凸集.若 \(C\) 是(1)的解集, 證明：\(C\)是凸集？
💡 證明：
任取\(x_1,x_2 \in C\)均是凸問題(1)的解, 即\(f(x_1) = f(x_2)\), \(\forall \theta \in [0,1]\), 對於
\[ \theta x_1 + (1-\theta)x_2.
\]
由於\(f(x)\)是凸函式, 所以
\[ f\Big(\theta x_1 + (1-\theta)x_2\Big) \le \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2) = f(x_1).
\]
所以\(\theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C\), 故而\(C\)為凸集.