WQS 二分
決策單調性，四邊形不等式
\(O(nk\log n) \to O(n\log n)\)
想法
轉移轉成最短路。
最短路，轉移代價 \(\to\) 邊權。
恰好選 k 條邊的最短路為 \(f\)。
\(f\) 必須有凸性。
加上額外代價\(\lambda\):
-
\(\lambda \to \inf\)， 選 1 邊
-
\(\lambda \to -\inf\)， 選 n 邊
-
二分
最小化 \(\lambda k+f_k\)。
滿足四邊形不等式一定凸。
\[2f_{k+1} \le f_k+f_{k + 2}
\]
通常跟決策單調性一起用。
\[w(i,j) \to w(i,j)+\lambda
\]
對於滿足四邊形不等式的序列DP可做到 \(O(n\log n \log W)\)。
對於有的二維限制就 wqs二分套 wqs 二分。
題目
[IOI2016] aliens
如果一個點在對角線下面，翻上去。
如果一個點右上角有點，就直接把這個點刪掉。
對剩下的點作 DP
\(j + 1 \to i\)， 減去重疊部分。
因為拍的越多越優，所以直接拍 \(k\) 張。
tree
板子。
Rikka with K-Match
因為可以用費用流，所以是凸性。
注意wqs二分上限 \(n*m*W\)。
有可能當 \(k \to k+1\) 時，可能 \(0 \to \dfrac{nmW}{2}\)
林克卡特樹 或 林克卡特樹
等價於搞 k+1 個連通塊然後直徑加起來。
直接樹形DP。
凸性出題人告訴了。
凸性最佳化DP
例題
sequence
令 \(a_i:=a_i-i\)，\(b_i:=b_i-i\)
\(dp_{i,j}\) 考慮到\(i\), \(b_i=j\)
\[dp_{i,j}=\min \left\{ dp_{i-1,k} \right\} + |j-a_i|
\]
- \(dp_{i,*}\), 凸
- 維護函式拐點
習題
-
A New Begining
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Sequence Transformation
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Make a Permutation!
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【UER #8】雪災與外賣