dp on 凸殼總結&gym 101806 T Touch The Sky 題解

我也不知道這個玩意究竟叫什麼。。。。

對於這樣的dp問題：

$d{p}_{i,j}=\min (d{p}_{i-1,j},d{p}_{i-1,j-1}+w_i)$,(for example :Touch The Sky)

求任意的$d{p}_{i,j}$。

可以發現$d{p}_i$形成了一個凸殼（$d{p}_{i,j}-d{p}_{i,j-1}\ge d{p}_{i,j-1}-d{p}_{i,j-2}$）。

上述dp有兩種轉移：

• $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$,直接複製上一個，沒啥好說的。
• $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j-1}+w_i$，其實可以這樣理解：將$d{p}_{i,j}$與$d{p}_{i,j-1}$的差值與$w_i$取一個min。

所以我們可以

若我們維護差分陣列 ：$c_j$=$d{p}_{i,j}-d{p}_{i,j-1}$

則在$c_j\ge w_i$的部分，所有的$d{p}_i$都為$d{p}_{i-1}$向上移動$w_i$位，並向右移動一位。

我們只需要在那個維護c陣列的平衡樹中插入一個$wi$即可。同時維護字首和。

我們回到上面的那一個問題，Touch The Sky。

這裡需要有一個限制$d{p}_{i-1,j-1}\le L_i\iff d{p}_{i-1,j-1}+W_i\le L_i+W_i=L{\prime }_i$

這其實非常好辦。

只需要在那個treap裡刪除最後一個滿足上述條件的位置即可。

這樣我們就可以將一個看似沒有辦法優化的二維dp優化到了$O(n^2)$,是不是非常神奇！

但是有人會說：“treap也太難打了吧，這麼長的程式碼比賽怎麼來得及寫啊！”。

先彆著急，Touch The Sky 這題的確可以不使用treap。

我們先看看最終題目是要求什麼？並不是任意的$d{p}_{i,j}$而是凸殼的最上面的那一點的橫座標!再看看$L{\prime }_i$有什麼性質,對，遞增，這可以保證凸殼的最高點只會升高不會降低！（為啥遞增很多題解都解釋的非常清楚了，這裡就不多說了）

所以我們從前到後考慮，每次加入一個差分值：$W_i$。若$sum>L{\prime }_i$，就刪除最後的那一個（最大的那一個）$prefixsum\le L{\prime }_i$的差分值（這裡的prefix sum位再treap裡維護的字首和），可以發現就是最大的那一個（前面已經分析了$L{\prime }_i$遞增）。

所以priority_queue就ok了。

程式碼也就十多行。