DP：
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線性dp
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P1091 [NOIP2004 提高組] 合唱隊形
比較簡單的一道題。求出以 \(i\) 結尾的最長上升子序列和以 \(i\) 為頭的最長下降子序列，相加 \(-1\) 即可。
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P1052 [NOIP2005 提高組] 過河
如果不考慮 \(L\) 的範圍，那麼就是一道簡單的線性 dp 。
但是 \(L\) 很大，石頭數量很少，所以每相鄰兩個石頭的空隙一定很大。
前置知識：P3951 [NOIP2017 提高組] 小凱的疑惑給定兩個數 \(p\) 和 \(q\) ，他們最大不能湊出的數是 \((p-1)(q-1)-1\) 。所以中間空隙過多一定是可以被湊出來的，即可以壓縮中間的空隙，然後線性 dp 即可。
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P1006 [NOIP2008 提高組] 傳紙條
求出 \(2\) 條從 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的路徑。重複只算一次，求最大路徑和。
水題，不多贅述。記錄 \(dp_{A,B,C,D}\) 表示第一條走到 \((A,B)\) , 第二條走到 \((C,D)\) 。由於 \(A+B = C+D\) ，可以記錄他們的和，最佳化掉一維。
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P1541 [NOIP2010 提高組] 烏龜棋
記錄 \(dp_{A,B,C,D}\) 表示用了 \(A\) 個 \(1\) 號卡片， \(B\) 個 \(2\) 號卡片， \(C\) 個 \(3\) 號卡片， \(D\) 個 \(4\) 號卡片。
暴力轉移即可 \(F_{A,B,C,D}=\max (F_{A-1,B,C,D},F_{A,B-1,C,D},F_{A,B,C-1,D},F_{A,B,C,D-1})+cost_{A+2B+3C+4D}\)
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P2679 [NOIP2015 提高組] 子串
字首和最佳化線性 dp。（推式子題）
首先考慮如何 DP，然後再考慮如何最佳化。
狀態表示：\(f_{i, j, k}\)表示只用 \(S\) 的前 \(i\) 個字母，選取了 \(k\) 段，可以匹配 \(T\) 的前 \(j\) 個字母的方案數。
狀態計算：將 \(f_{i,j,k}\)表示的所有方案分成兩大類：
- 不用 \(S_i\)，則方案數是 \(f_{i-1,j,k}\)；
- 使用 \(S_i\)，則方案數是 $ \sum f_{i-t,j-t,k-1}$，滿足 \(S_{i-t+1}=T_{i-t+1}\)，\(t\) 從大到小列舉。
時間複雜度是 $ \mathcal{O} (nm2k)$。
我們發先 \(f_{i,j,k}\) 的第二項和 \(f_{i-1,j-1,k}\) 很像，可以考慮維護一個 \(tmp_{i,j,k}\)
- \(S_i=T_j\) , \(tmp_{i,j,k}=tmp_{i-1,j-1,k}+f_{i-1,j-1,k-1}\) 。
- \(S_i \neq T_j\)，\(tmp_{i,j,k}=0\) 。
（把式子展開可以發現 \(tmp\) 的規律）。
然後空間會爆，寫滾動陣列或者 01揹包 倒序列舉最佳化掉第一維即可。
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P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的飯
求解所有方案數
\(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 種烹飪方式，做了 \(j\) 道菜的方案數。
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狀態轉移：
第 \(i\) 種烹飪方式不做 \(f_{i,j}+= f_{i - 1,j}\) -
第 \(i\) 種烹飪方法做 \(1\) 道主要食材是 \(k\) 的菜：\(f_{i,j} += f_{i-1,j-1} * a_{i, k}\)
所有方案數量 $ A = \sum_{j = 1}^{n}f[n][j]$ 。
求解不合法方案：
\(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 中烹飪方法，越界食材數 $ - $ 其他食材數 為 \(j\) 的方案數。
狀態轉移：
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第 \(i\) 種烹飪方法不選：\(dp_{i,j} += dp_{i-1,j}\)
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選越界食材 \(c\)：\(dp_{i,j} += dp_{i-1,j-1} * a_{i, c}\)
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選其他食材 \(dp_{i,j} += dp_{i-1,j+1} * (s_i - a_{i, c})\)
所有方案數量： $ B = \sum dp_{n,j} (j > 0)$ 。
\(A-B\) 即可。
時間複雜度 \(\mathcal{O}(n ^ 2m)\) 。
\(Tips\)：
做差有可能為負數，把所有狀態加一個 \(+n\) 的偏移量即可。 -
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總結：
對於線性 dp的問題，一般狀態定義為 \(f_{前\ i\ 個,滿足 \ ....\ 狀態}\)，狀態可能很多，所以可能有很多維。
狀態轉移：考慮這個集合是由誰構成的，進行分類。比如分成 選 \(a\) 和不選 \(a\) ......
最佳化：如果狀態過多，考慮滾動陣列或者揹包最佳化，轉移中有求和，求最值等考慮用字首和，單調佇列最佳化。
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區間dp
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揹包
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狀壓dp
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樹形dp
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倍增最佳化dp
貪心：
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DFS
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剪枝
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拓撲排序
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樹
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LCA
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最短路
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二分圖
資料結構：
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堆
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並查集
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線段樹
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單調佇列
基礎演算法：
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列舉
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模擬
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字串
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排序
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二分
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位運算
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構造
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雜湊
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找規律