回溯問題Python框架總結——排列組合問題

本文是對 leetcode 回溯題的一些模板進行整理總結，很多關於回溯的 blog 都會引用對回溯演算法的 official definition 和通用的解題步驟，如果是真的想研究這一演算法思想，按照這樣的方式來完全沒有問題。不過個人覺得如果僅僅只是為了應試，那麼掌握一些解題的模板會更直接的幫助理解回溯的演算法思想。本文將舉一些簡單的例子來說明這些模板，不採用樹來描述，使得對於資料結構不太瞭解的讀者也相對友好。

基本思想：

回溯問題是對多叉樹的深度搜尋，遇到不滿足條件的節點則回退，遞迴的搜尋答案。在遞迴呼叫前，嘗試一種可能的方案，那麼在遞迴呼叫的時候，函式的開始，有判斷語句，如果這種方案可行，記錄下這種方案，並且 return，否則，繼續進行嘗試，找到滿足條件的解以後，回退到之前的選擇。

常見模板：

1、無重複元素的全排列問題（或者有重複元素但是不需要去重）

一般在回溯的過程中，不斷縮小原來陣列的範圍並新增至 $track$ 中，直至列舉完所有的元素，滿足條件的新增到 $result$ 陣列中, 模板如下

def problem(nums):
	res = []
	def backtrack(nums, track):
		if (判斷滿足題目所給的條件):  # 如果不限制每個結果都需要用到所有元素，就不需要 if 判斷，直接加入 res
			res.append(track[:])   # 這裡必須傳入track的拷貝，track[:], 否則答案全是空
			return
		for i in range(len(nums)):
			backtrack(nums[:i] + nums[i+1:], track + nums[i])
		backtrack(nums, [])
	return 題目需要的res相關的引數，輸出本身，長度，或者其他的

以下題目為實戰中套用框架解題

Leetcode 46 全排列

由於是全排列，只要沒得選了，那就是我們所需的答案，加入 $result$ 並且 $return$

class Solution:
	def permute(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
		res = []
		def backtrack(nums, track):
			if not nums:
				res.append(track[:])
				return
			for i in range(len(nums)):
				backtrack(nums[:i] + nums[i+1:], track + [nums[i]])
		backtrack(nums, [])
		return res

2、有重複元素的全排列問題

遇到有重複元素的問題，最好先進行排序，再採用剪枝的方法來進行去重，具體分析見 4。這裡給出全排列有重複元素去重的框架：

def problem(nums):
	res = []
	nums.sort()
	def backtrack(nums, track):
		if (判斷滿足題目所給的條件):  # 如果不限制每個結果都需要用到所有元素，就不需要 if 判斷，直接加入 res
			res.append(track[:])   # 這裡必須傳入track的拷貝，track[:], 否則答案全是空
			return
		for i in range(len(nums)):
			if i > 0 and nums[i] == nums[i-1]:  #剪枝去重
				continue
			backtrack(nums[:i] + nums[i+1:], track + nums[i])
	backtrack(nums, [])
	return 題目需要的res相關的引數，輸出本身，長度，或者其他的

Leetcode 1079 活字印刷

先將字串放在入列表中進行排序，後進行剪枝去重。

由於不需要求具體有哪些排列，因此只需要用一個變數來記錄過程中的結果。類似的，$N$皇后與 $N$皇后Ⅱ 的差別也僅在於是否需要建立一個列表或者一個變數來儲存結果。

初始 $ans$ 設為 -1，因為題目要求最後的結果非空，提前減去一個空字串。

class Solution:
	def numTilePossibilities(self, tiles: str) -> int:
		self.ans = -1
		tiles = list(tiles)
		tiles.sort()
		def backtrack(tiles):
			self.ans += 1
			for i in range(len(tiles)):
				if i > 0 and tiles[i] == tiles[i-1]:
					continue
				backtrack(tiles[:i] + tiles[i+1:])
		backtrack(tiles)
		return self.ans

3、陣列元素不重複且陣列元素不可以重複使用的組合問題

這種問題在高中找多少種不同的組合比較常見，比如找 $[1,2,3]$ 這樣的陣列有多少種非空的子集，那麼我們按照高中的不重複不遺漏的找法，一般是先確定 $1$，然後找 $2$, $3$ 裡面的，第一輪找出來是 $[1]$ , $[1,2]$ , $[1,3]$ , $[1,2,3]$，這時候對於 $1$ 來說，沒有更多的元素可以和它組成子集了，那麼現在去掉 $1$，再從 $[2,3]$ 裡面找剩餘的，第二輪出來的是 $[2]$, $[2,3]$，最後一輪從 $[3]$ 中找，也就是 $[3]$。這樣我們就得到了不重複不遺漏的所有非空子集。

可以看到，這種問題，越搜尋，資料範圍越小，比上一輪起始資料向後移動了一位，那麼在遞迴呼叫中就可以用一個 $index$ 標誌 $+1$ 來表示現在的起始位置從上一輪 $+1$ 的位置開始。框架如下

def problem(nums):
	res = []
	def backtrack(index, track):
		if (滿足題目中的條件):
			res.append(track[:])
				return
		for i in range(index, len(nums)):
			backtrack(i + 1, track + [nums[i]])
	backtrack(0, []) # 這裡不一定是0，根據實際的起始條件來給
	return res

以下三題為實戰中用框架解題

Leetcode 77 組合

實際問題的返回條件是每個組合內有 $k$ 個數，那麼就是 $track$ 長度需要是k的時候返回。由於這裡題目並沒有直接給出陣列，是用 $1-n$ 來代替，那麼起始條件就是 $1$，陣列用 $1-n$ 的範圍來代替就好。

class Solution:
	def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
		res = []
		def backtrack(index, track):
			if len(track) == k:
				res.append(track[:])
				return
			for i in range(index, n+1):
				backtrack(i + 1, track + [i])
		backtrack(1, [])
		return res

Leetcode 78 子集

直接套入框架，這裡每一次搜尋的路徑都要記錄下來，那就記錄一下每次的路徑就行了，不需要再判斷什麼時候的結果才儲存

class Solution:
	def subsets(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
		res = []
		def backtrack(index, track):
			res.append(track[:])
			for i in range(index, len(nums)):
				backtrack(i + 1, track + [nums[i]])
		backtrack(0, [])
		return res

Leetcode 17 電話號碼中的字母組合

此題看上去陣列中的數可以重複，比如可以撥打“232”，但是由於是字串，順序是一定的，而且撥打第一個 $2$ 和第二個 $2$，對應的字母也可能不同，所以仍然可以看做是陣列中元素不重複且不能重複使用的問題。

用字典記錄下對應關係，之後代入框架即可，注意讀取字典鍵和值的各種括號就行，最終結果是字串的時候，$track$ 初始設為“”替代 $[]$

class Solution:
	def letterCombinations(self, digits: str) -> List[str]:
		if not digits:
			return []
		res = []
		dic = {'2':'abc','3':'def','4':'ghi','5':'jkl','6':'mno','7':'pqrs','8':'tuv','9':'wxyz'}
		def backtrack(index, track):
			if len(track) == len(digits):
				res.append(track)
				return
			for i in range(len(dic[digits[index]])):
				backtrack(index + 1, track + dic[digits[index]][i])
		backtrack(0, "")
		return res

4、陣列元素有重複但不可以重複使用的組合問題

這一類問題和第二種型別的問題相似，最主要的是要對結果進行去重，也就是對深搜的N叉樹進行剪枝。比如我們要找 $[2,1,2,4]$ 有多少種不重複的子集組合，按照我們的高中知識，為了不重複不遺漏，我們應該先排序這個陣列，得到 $[1,2,2,4]$，這時候從1開始找，第一輪是 $[1]$ , $[1,2]$，接下來遇到一個相同的 $2$，我們為了不重複，會跳過它，不看，因為 $len=2$ 的時候，如果再選 $2$，就會得到重複的結果，然後是 $[1,4]$, $[1,2,2]$, $[1,2,4]$, $[1,2,2,4]$，我們在找 $len=3$ 的時候，同樣，當第二位選了第一個 $2$ 以後，第二位就不再考慮選第二個 $2$ 的情況，因為它們的結果相同，至此，第一輪結束。

第二輪去掉 $1$,在 $[2,2,4]$ 裡面找，$[2]$, $[2,2]$, $[2,4]$, $[2,2,4]$, 第三輪去掉一個 $2$，本來應該在 $[2,4]$ 裡面找，假如我們這樣找結果，會得到 $[2]$, $[2,4]$，產生重複，因為 $[2,4]$ 的情況已經包含在 $[2,2,4]$ 中了，這就是有重複元素的情況下，我們在同一個位置進行選擇的時候，應該跳過相同的元素，否則會產生重複。第三輪實際在 $[4]$ 裡面找，得到 $[4]$。

框架如下

def problem(nums):
	res = []
	nums.sort() # 排序，為了後面去重做準備
	def backtrack(index, track):
		if (滿足題目條件):
			res.append(track[:])
		for i in range(index, len(nums)):
		### 進行剪枝，跳過相同位置重複的數字選擇
			if i > index and nums[i] == nums[i-1]: 
				continue
			backtrack(i + 1, track + [nums[i]])
	backtrack(0, [])
	return res 

以下兩題為實戰中用框架解題

Leetcode 90 子集2

搜尋路徑上所有結果全部保留，直接套入上述框架即可

class Solution:
	def subsetsWithDup(self, nums: List[int]) -> List[List[int]]:
		res = []
		nums.sort()
		def backtrack(index, track):
			res.append(track[:])
			for i in range(index, len(nums)):
				if i > index and nums[i] == nums[i-1]:
					continue
				backtrack(i + 1, track + [nums[i]])
		backtrack(0, [])
		return res

Leetcode 40 組合總和2

這裡唯一的差別是在於需要把目標和也一起代入進遞迴呼叫中，每次判斷如果是目標和就加入最終結果，加超過了目標和那就不符合，直接跳出

class Solution:
	def combinationSum2(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
		candidates.sort()
		res = []
		def backtrack(index, track, target):
			if target == 0:
				res.append(track[:])
				return
			for i in range(index, len(candidates)):
				if target - candidates[i] < 0: # 超過目標和
					break
				if i > index and candidates[i] == candidates[i-1]:
					continue
				backtrack(i + 1, track + [candidates[i]], target - candidates[i])
		backtrack(0, [], target)
		return res

5、陣列元素不重複但可以重複使用

這一類的問題同樣也是第二種問題演變而來，唯一的區別是遞迴呼叫 $backtrack$ 的時候，把 $i+1$ 改成 $i$ ，那麼下一個位置又可以用這個元素了，即可實現有重複

Leetcode 39 組合總和

class Solution:
	def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
		res = []
		candidates.sort()
		def backtrack(index, track, target):
			if target == 0:
				res.append(track[:])
				return
			for i in range(index, len(candidates)): 
				if target - candidates[i] < 0:
					break
                ### 把原來遞迴的時候 i+1 改成 i，當前的元素又可以再用一次了
				backtrack(i, track + [candidates[i]], target - candidates[i])
		backtrack(0, [], target)
		return res

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