[Atcoder DP I]Coins 題解

題目大意

\(N\) 枚硬幣，第 \(i\) 枚硬幣有 \(p_i\) 的機率正面朝上，有 \(1-p_i\) 的機率反面朝上。
扔完所有硬幣，求正面朝上的銀幣數比反面朝上的銀幣數多的機率，其中 \(N\le 2999\)。

思路

顯而易見的這道題目是一個 DP，絕對不是因為它是 DP 列表裡的題目。因為題目中的 \(N\le 2999\) 所以可以考慮 \(n^2\) 的DP 程式。

設 \(f_{i,j}\) 表示正面有 \(i\) 個硬幣，反面有 \(j\) 個硬幣的機率。

得到有 \(i\) 個正面，\(j\) 個反面只有可能是由 \(i-1\) 個正面與 \(j\) 個反面透過投擲一個正面或者 \(i\) 個正面與 \(j-1\) 個反面透過投擲一個反面得到的。

所以 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}\times p_{i+j}+f_{i,j-1}\times (1-p_{i+j})\)。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3005;
int n;
double p[N],f[N][N],ans;
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
	f[0][0]=1.0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=f[i-1][0]*p[i];
		f[0][i]=f[0][i-1]*(1-p[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j+i<=n;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j]*p[i+j]+f[i][j-1]*(1-p[i+j]);
		}
	}
	for(int i=n/2+1;i<=n;i++){
		ans+=f[i][n-i];
	}printf("%.10lf",ans);
	return 0;
}