題意簡述
給定一個無向圖。你要在其中選出一些邊，使得選出的邊所構成的圖中，度數為奇數的點有 \(K\) 個。如果可以，輸出選了哪些邊，否則輸出 -1。
思路
首先在選一條邊時，邊兩端點度數的奇偶性一定都會改變，即要麼都變為奇數，要麼兩個點的奇偶性交換過來，要麼都變為偶數。這三種情況時滿足條件的點的個數分別變為 \(+2,0,-2\)。因此無論怎麼選邊，度數為奇數的點只能有偶數個。所以 \(K \equiv 1 \pmod 2\) 時一定無解。
題目沒說圖一定連通，所以我們可以對每個連通塊分別處理。所以我們只需要處理單個連通塊。
假設這個連通塊有 \(N\) 個節點，那麼這個連通塊在選邊後最多能有幾個點的度數為奇數呢？
答案是 \(N-(N \bmod 2)\)，即不大於 \(N\) 的最大偶數。為什麼呢？
我們先求出這個圖的 DFS 樹。此時樹中有 \(N-1\) 條邊。在 DFS 時，同時維護子樹大小 \(sz\) 和搜尋時該點度數的奇偶性 \(li\)（奇數為 \(true\)，偶數為 \(false\)）。
我們在遍歷的時候，假設遍歷到了 \(u \to v\) 這條邊，\(u\) 的父親是 \(f\)。如果 \(li_v=false\)，就選擇 \(u \to v\) 這條邊，並把 \(li_v\) 標記為 \(true\)，\(li_u\) 反轉。便利完所有出邊後，會有下面幾種情況：
- \(li_u=true\)
此時 \(u\) 已經滿足條件了。回到 \(f\) 時，\(f \to u\) 的這條邊不會被選。對 \(u\) 的搜尋結束，\(u\) 可以滿足條件。
- \(li_u=false\)
此時 \(u\) 沒有滿足條件。那麼在回到 \(f\) 時，則會選擇 \(f \to u\) 這條邊，使得 \(u\) 滿足條件。
這麼看來所有的點都會滿足條件，除了根節點。如果 \(N \equiv 1 \pmod 2\)，則除根節點之外的點都已經滿足條件，根節點無法滿足條件。否則根節點也可以滿足條件。
我們在搜尋的時候可以記錄還需要讓多少個點滿足條件。設這個值為 \(w\)。那麼我們在選邊的時候，根據上面遍歷到 \(u \to v\) 時的幾種情況再做出相應做法：
- \(w=0\)
這條邊不選即可。
-
\(w>0\)
-
- \(li_v=false\)
我們選擇這條邊，使得 \(v\) 滿足了條件，\(w \gets w-1\)。
接下來我們計算出 \(li_u\)，如果為 \(true\)，則該點由不滿足條件變為滿足條件，\(w \gets w-1\)。否則該點由滿足條件變為不滿足條件，\(w \gets w+1\)。
-
- \(li_v=true\)
這條邊不選即可。
可以發現，在選擇一條邊後，\(w\) 值要麼不變，要麼 \(-2\)。這樣最後如果 \(w=0\)，則有解，否則無解。
到這裡，最後一個問題就是記錄選擇哪些邊了。我們可以使用鏈式前向星存圖，因為是無向圖，每個邊存兩次。我們可以從編號 \(2\) 開始存，第一條邊的編號為 \(2,3\)，第二條為 \(4,5\)。我們再用一個 \(ans\) 陣列，如果這條邊選了，我們把對應邊編號的 \(ans\) 值設為 \(true\)。這樣每條邊編號除以二下取整就是它實際邊的編號。
那麼這個問題就解決了。
程式碼