彈珠 題解

題意

求 \(n\) 個一樣的球放到 \(k\) 個盤子裡的方案數（每個盤子至少一個）。

題解

考慮記 \(f(i, j)\) 為結果。

1. 我們可以一次性只加一個球（新放到一個盤子裡），也就是可以從 \(f(i - 1, j - 1)\) 轉移過來。
2. 也可以用已有的盤子每個盤子放一個球，就是從 \(f(i - j, j)\) 轉移過來。

為什麼不可以從 \(f(i - k, j)\) 或 \(f(i - k, j - k)\) 而 \(1 \le k \lt j\) 轉移過來呢？

因為重複兩次上述操作會導致重複（再說了時間複雜度也不允許……）

時間複雜度 \(\mathcal{O} (nk)\)

namespace zqh {
const int N = 5005;

int n, k;
int dp[N][N];

void init() {
    cin >> n >> k;
}

void solve() {
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <=  min(i, k); j++) {
            dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]) % mod;
        }
    }
    cout << dp[n][k];
}

void main() {
    init();
    solve();
}
}  // namespace zqh