有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚。
苦心人，天不負，臥薪嚐膽，三千越甲可吞吳。

P1020 導彈攔截

題目連結:

https://www.luogu.com.cn/problem/P1020

題目解釋：

首先就是要找到一個最長非上升子序列，這是第一問，第二問就是非上升序列有多少個。

問題分析：

就是優化最長非上升子序列的問題，要求時間複雜度$nlo{g}_n$，$n^2$的時間複雜度會爆，所以得優化。

題目思路：

首先新建一個陣列dp[]，和變數int，分別用來記錄非上升子序列，和當前最長非上升子序列的長度。

看樣例：

389 207 155 300 299 170 158 65
首先存在最長非上升子序列：389 300 299 170 158 65， 長度為6
其中207 155，這個序列需要第二套裝置
所以答案就是6 2

首先開始手動模擬

記住這是動態規劃題目，dp陣列只需要儲存一種狀態而不是準確的答案。

dp陣列中儲存一個非上升子序列，當出現一個小於$dp[len]$的數字的時候，就執行$dp[++len]=a[i]$，這時表明，當前最長長度發生變化，更新當前最長長度的最小值。

如果出現一個大於$dp[len]$的數字$a[i]$的時候，就使用二分查詢，在dp陣列中找到一個大於$a[i]$的位置，然後把那個位置的數字替換為$a[i]$。

這意味著，如果後面出了剛好比$a[i]$小的序列，我就可以把原來的dp陣列給替換了，而替換的過程len的大小並不變。如果到時候len值變化了，說明一定有更長的新的序列出現了。如果我一直在替換dp陣列中的，但是len值沒變化，其實這個時候就相當於，我取得最長非上升子序列還是len值剛剛更新時的那個dp陣列。

第一個問題解決。

第二個問題：

怎麼解決多個非上升子序列：

和上一問思路差不多。新建一個陣列dp2[]，然後只要有小的數字出現，就替換，如果有大的數字出現，就加在後面，有小的數字出現即$dp2[len2]>=a[i]$，說明當前的裝置可以滿足，裝置數量並不需要滿足，如果有大的數字出現即$dp2[len2]<a[i]$，說明當前的高度已經無法滿足，需要另外一套新的裝置，套用上一問的思路，直接二分就可以。

AC程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
int f[N], d1[N], d2[N];

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n = 0, len1 = 1, len2 = 1;
    while (cin >> f[++n]);  n--;
    d1[1] = d2[1] = f[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++){
        //只要高度比當前裝置最後一次的高度低，那就可以繼續使用
        if (d1[len1] >= f[i])   d1[++len1] = f[i];
        else{
            int p = upper_bound(d1 + 1, d1 + 1 + len1, f[i], greater<int> ()) - d1;
            d1[p] = f[i];
        }
        //只要高度不提高，就不需要另外一套裝置
        if (d2[len2] < f[i])    d2[++len2] = f[i];
        else{
            int p = lower_bound(d2 + 1, d2 + 1 + len2, f[i]) - d2;
            d2[p] = f[i];
        }
    }
    cout << len1 << " " << len2 << endl;
    return 0;
}

需要注意兩個函式：
lower_bound()，找到第一個大於等於的數的位置，返回值為指標，並不是下標所以要減去首地址。
upper_bound()，找到第一個大於的數的位置，返回值同樣為指標。