導彈攔截

归游發表於2024-10-15

題目

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某國為了防禦敵國的導彈襲擊，發展出一種導彈攔截系統。但是這種導彈攔截系統有一個缺陷：雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度，但是以後每一發炮彈都不能高於前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的導彈來襲。由於該系統還在試用階段，所以只有一套系統，因此有可能不能攔截所有的導彈。

輸入導彈依次飛來的高度，計算這套系統最多能攔截多少導彈，如果要攔截所有導彈最少要配備多少套這種導彈攔截系統
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經典的DP,適合打好基礎
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第一問

求最長不下降子序列
定義\(dp_i\) 為以第\(i\)個導彈高度為結尾，攔截的最多的導彈
\(h[i]\)為第\(i\)個導彈高度
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所以根據dp的通常思考方式，尋找\(dp_i\)之間的關係
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如果\(\exist j<i 且 h[j]>h[i]\) 那麼這兩個導彈就能被同一個導彈攔截系統
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同理\(\exist j<i 且 h[j]>h[i]\) 那麼\(dp_i=dp_j+1\)
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此時以第\(j\)個導彈高度為結尾的序列長度為\(dp_j\)，而\(h[j]>h[i]\)
也可以攔截第\(i\)個導彈
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而\(dp_i可以由多個dp_j得到，所以\displaystyle dp_i=max_{j<i, h[j]>h[i]} (dp_i,dp_j+1)\)

第二問

求最少的不下降子序列個數
貪心，當前已有的系統攔截不到，就增加系統
定義\(dp_i\)為第i個導彈高度為結尾的第\(dp_i\)個系統
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如果\(\exist j<i 且 h[j]<h[i]\) 那麼這兩個導彈就不能被同一個導彈攔截系統，需要新開一個系統,且新系統的攔截最後一個導彈為h[i]
如果\(\exist j<i 且 h[j]>h[i]\) 那麼這個導彈就可以被之前攔截h[j]的導彈攔截，就不需要開新系統
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同理\(\exist j<i 且 h[j]<h[i]\) 那麼\(dp_i=dp_j+1\)
\(\\\)
而\(dp_i可以由多個dp_j得到，所以\displaystyle dp_i=max_{j<i, h[j]<h[i]} (dp_i,dp_j+1)\)
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--小疑問：可能會有人問，為什麼求最少的不下降序列個數反而還要取max
答：這樣取max才能使每一個導彈被攔截

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CODE

點選檢視程式碼 
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;
int n;
int m[100000+10];
int f[100000+10];
int ans[100000+10];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	int a;
	int len=0;
	memset(ans,0,sizeof(ans));
	while(cin>>a){
		m[++len]=a;
		f[len]=1;
	} 
	int maxx=0; 
	for(int i=2;i<=len;++i){
		for(int j=1;j<i;++j)
			if(m[i]<=m[j]) 
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		maxx=max(f[i],maxx);
	}
	cout<<maxx<<endl;
	maxx=0;
	memset(f,1,sizeof(f));
	
	for(int i=1;i<=len;++i){
		f[i]=1;
		for(int j=1;j<i;++j)
			if(m[j]<m[i])
				f[i]=max(f[i],f[j]+1);
		maxx=max(maxx,f[i]);//有可能後面的導彈已經被前面已有的系統攔截了，不需要開新系統，而此時找到的最大值即是剛好攔截所有導彈的系統數量
	}
	cout<<maxx<<endl;
	return 0;
}
以上的code可以過1e5級別的資料

而此題可以考慮最佳化

最佳化

1.第一問

根據\(\displaystyle dp_i=max_{j<i, h[j]>h[i]} (dp_i,dp_j+1)\)

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我們有一定的時間在尋找\(max(dp_j+1)\),這導致了我們每次尋找時的複雜度為\(O(N)\)
根據題目的複雜度要求，我們應該考慮\(log_{2}N\)複雜度的尋找方法
對於\(\forall dp_j\in[0,n] \ and \ n<1e5\)
而且我們只需要最大值
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這時如果我們利用桶排序的思想，就能快速查詢，並且存最大值

令\(f[x]\)為長度為x的最長不上升子序列的末端高度
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對於\(\forall x>1 , \exist y<x,f[x]<f[y]\)(單調遞減)
\(\\\)
所以當我們考慮\(h[i]\)時，我們只需要在已知長度中找\(f[j]<=h[i](j為符合該條件的最大值)，f[j+1]=h[i]\)
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而由於這種序列是單調遞減，所以二分查詢就可以，複雜度就降到\(O(log_2N)\)

第二問

\(\displaystyle dp_i=max_{j<i, h[j]<h[i]} (dp_i,dp_j+1)\)
令\(f[x]\)為第x個系統的攔截的末端高度
\(\\\)
對於\(\forall x>0, \exist y>x,f[x]<f[y]\)(單調遞增)

所以對於\(h[i]\),開一個新系統，我們只需要考慮，不\(\exists x，f[x]>h[i]\)，此時沒有系統攔截的高度超過當前導彈，所以需要一個新系統

CODE

點選檢視程式碼 
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
int n=0;
const int maxn=1e5+10;
int t;
int h[maxn],f[maxn];

int main(){
    while(~scanf("%d",&h[++n])); --n;
	t=1;memset(f,0,sizeof(f));
	//f[i]表示長度i的序列結尾的高度 
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int l=1,r=t;//當前長度的範圍
		
		while(l<=r){//查詢該高度可以拼接的最長長度 
			int mid=(l+r)>>1;
			if(f[mid]>=h[i]) l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		//最後二分找到的 f[l]<h[i] && f[r]>=h[i] && r+1=l 
		//所以 f[l]=h[i]
		//若長度增加,r=t,l=t+1; //最大長度增加
		if(l>t)	t=l; 
		f[l]=h[i];//長度l的最長不上升序列結尾是h[i] 
	}
	printf("%d\n",t);
	t=0;memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int l=0,r=t;//當前系統數範圍
		while(l<=r){//查詢該高度可以拼接的系統，找不到，就新增系統 
			int mid=(l+r)>>1;
			if(f[mid]<h[i]) l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		if(l>t) t=l;
		f[l]=h[i]; 
	} 
	printf("%d\n",t);
	return 0;
}

偏序集

待更....

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