思路分析
分析樣例：
見紅線，長寬各為 2，存在格點；黃線長 2 寬 3，沒有格點。
考慮延長黃線使得長 4 寬 6，發現有格點。思考格點，如果長和寬都可以被分成 \(p\times l\) 的格式，則存在格點。那麼，就能想出：
推論 1：對於 \((0 \ , \ 0)\) 和 \((x \ , \ y)\) 之間沒有格點，當且僅當 \(\gcd(x \ , \ y )=1\)。
對推論 1 的證明：
若存在格點 \(A\)，其座標為 \((a \ , \ b)\)，由於在同一直線上，斜率 \(k\) 相同，則有 \(k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}\)，即 \(b=\dfrac{a\times y}{x}\)。由於 \(b\) 為整數，則有 \(x \ | \ a\times y\)。
採用反證法，\(\gcd(x \ , \ y )=1\) 時存在格點。
由於互質，\(x=\prod\limits_{i=1}^{s1}p_i^{c_i} \ , \ y=\prod\limits_{i=1}^{s2}q_i^{d_i}\)，假設 \(x \ | \ y\)，\(y\) 必然有因子 \(\prod\limits_{i=1}^{s1}p_i^{c_i}\)，而實際上沒有，所以 \(y\) 對該式沒有貢獻。即：$x \ | \ a\times y \Leftrightarrow x \ | \ a $。
而 \(A\) 是線段上一點，有 \(a<x\)，則 \(b\) 一定不屬於 \(\mathbb{Z^+}\)，與原有條件衝突，由此可證。
得出推論 1 後，我們就能判斷兩點之間是否有格點了。那麼如何得出最短答案呢？
（圖是隨手畫的，具體有的性質以下文所述為準。）
見上，假設 \(AD\) 之間存在格點（在之後稱為不合法），於是我們找到任意一點 \(C\) 進行更新。
假設 \(C\) 為不合法，以圖為例，在 \(AC\) 上可以取一格點 \(B\)，根據三角形定則 \(| \ BD \ |>| \ BC \ |+| \ CD \ |\)，則 \(B\) 更優。假設無法在 \(AB\) 和 \(BD\) 上取格點，那麼 \(B\) 的取點是合法的，可以得出：
推論 2：對於任意不合法的取點，必然可以在原線段取到更優的合法方案。
那麼就有：
推論 2.1：最優方案必然是合法的。
對推論 2.1 的證明：
假設最優方案不合法，根據推論 2，則有更優方案可以更新，與原有條件衝突，由此可得。
以上是一個轉折點的情況，那如果有多個轉折點呢？
如圖，多個轉折點的情況是不需要考慮的，見圖，由於三角形定則，紅色線的長度小於另外兩條邊之和。換句話說：
推論 3：最優方案只轉折一次或零次。
於是我們只要列舉一個點就可以了，如果在整個 \(n\times m\) 的範圍列舉，尋找最優方案，但這個時間複雜度顯然是不合理的。其實我們只需要列舉線段附近的點就可以，這樣複雜度就可以變成 \(\mathcal{O}(n)\)。
程式碼實現
#define by_wanguan
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int t,n,m,y11,y2,y3,g; double dn,dm,nowm,ans,k;
double dis(double a,double b,double x,double y){
return sqrt((x-a)*(x-a)+(y-b)*(y-b));
}
void solve(){
k=(double)m/n;//斜率
if((g=__gcd(n,m))==1)
{printf("%.15lf\n",dis(0,0,n,m)); return ;}
dn=n,dm=m;
for(int i=1;i<n;i++){
nowm=k*i;
y11=(int)(nowm),y2=y11+1,y3=y11-1;//x座標為i時附近的點的y座標
if(__gcd(n-i,m-y11)==1&&__gcd(i,y11)==1&&abs(y11-k*i)>1e-10)
//判斷是否合法，abs()是在判斷是否為原線段上的點
ans=min(ans,dis(i,y11,n,m)+dis(0,0,i,y11));
if(__gcd(n-i,m-y2)==1&&__gcd(i,y2)==1&&abs(y2-k*i)>1e-10)
ans=min(ans,dis(i,y2,n,m)+dis(0,0,i,y2));
if(__gcd(n-i,m-y3)==1&&__gcd(i,y3)==1&&abs(y3-k*i)>1e-10)
ans=min(ans,dis(i,y3,n,m)+dis(0,0,i,y3));
}
printf("%.15lf\n",ans);
}
int main(){
scanf("%d",&t); while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
ans=1e9;
solve();
}
}
喵。