用多項式的逆優化dp總結

Gary_2005發表於2020-12-31
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用多項式的逆優化dp總結

考慮一個經典的模型：

d p i = ∑ j = 1 i d p i − j × f j dp_i=\sum_{j=1}^i dp_{i-j}\times f_j dpi​=∑j=1i​dpi−j​×fj​

求 d p n dp_n dpn​ 這種問題表面看上去需要 n 2 n^2 n2，但是事實上可以更優。

我們建立一個長度無窮大的多項式: F ( x ) = ∑ i = 0 ∞ f i × x i F(x)=\sum _{i=0}^\infty f_{i}\times x^i F(x)=∑i=0∞​fi​×xi,特殊的： f 0 = f k + n = 0 , k ∈ N ∗ f_{0}=f_{k+n}=0,k\in \mathbb{N}^* f0​=fk+n​=0,k∈N∗

然後可以發現 d p n = ∑ i = 0 ∞ [ x n ] ( F i ( x ) ) dp_n=\sum _{i=0}^{\infty}[x^n](F^i(x)) dpn​=∑i=0∞​[xn](Fi(x))

由於 ∑ i = 0 ∞ x i = 1 1 − x \sum _{i=0}^{\infty} x^i=\frac{1}{1-x} ∑i=0∞​xi=1−x1​

所以: d p n = [ x n ] 1 1 − F ( x ) dp_{n}=[x^n]\frac{1}{1-F(x)} dpn​=[xn]1−F(x)1​

然後 d p n dp_n dpn​就是多項式 G ( x ) = 1 − F ( x ) G(x)=1-F(x) G(x)=1−F(x)的逆的第n項係數。時間複雜度為 O ( n log ⁡ n ) O(n\log n) O(nlogn)

如何求多項式的逆元？

題解 P4238 【模板】多項式求逆- Great_Influence 的部落格 - 洛谷部落格 (luogu.com.cn)

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