1455G Forbidden Value（資料結構優化dp+啟發式合併）

Educational Codeforces Round 99 (Rated for Div. 2)

G. Forbidden Value

題面：Forbidden Value

題意：給一個初始值為 $0$ 的變數 $x$ 以及一段只包含 $set、if、end$ 的簡易程式碼段，程式碼 “$setyv$” 表示將 $x$ 賦值為 $y$，或者花費 $v$ 的代價不執行該語句，程式碼塊 $ify...end$ 為條件語句塊，當 $x$ 的值等於 $y$ 時才會進入該程式碼塊，程式碼塊可以巢狀。在程式的執行過程當中一旦 $x$ 的值變成了 $s$ 就會立馬崩潰，現在問至少要花費多少的代價才能讓程式正常跑完。

範圍：$1\le n\le 2e5,1\le s\le 2e5,0\le y\le 2e5,1\le v\le 1e9$。

分析： 可以先考慮基本的 $dp$，$d{p}_{ij}$ 表示執行完第 $i$ 條語句後 $x$ 的值為 $j$ 所需要的最小代價。若程式碼段中只存在 $set$ 語句的話這個 $dp$ 很好寫，只需要注意進行離散化。現在考慮 $if...end$ 語句塊，可以發現處理語句塊內部只是與本道題本質相同規律減少的子問題，因此我們可以對該問題進行遞迴的求解，假設進入內部 $if...end$ 語句塊所需要的代價為 $cost$，那麼在處理完內部 $inner\_dp$ 後與外部 $outer\_dp$ 進行合併時 $outer\_d{p}_{ij}=min(outer\_d{p}_{ij},cost+inner\_d{p}_{ij})$ 即可，總體的時間複雜度為 $O(n^2)$，考慮進行優化。

兩個大方向可以進行優化：

① 對於一條 $setyv$ 語句，除了 $j==y$ 其餘所有的 $j$ 為了保持原來的值都需要增加 $v$ 的代價，而 $j==y$ 在這條語句過後一定會保持 $j==y$，因此在這條語句之前 $j$ 可以是任何值，所以我們應當取其中代價最小的。注意到每次只有一個 $j$ 的變化不同，其他 $j$ 的變化都相同，因此我們可以設定一個偏移量 $offset$ 儲存所有 $j$ 的變化量，只修改一個 $j==y$ 的值，這裡我們需要一個快速單點修改以及求全域性最小值的功能，STL 中的容器 $Set$ 可以滿足，時間複雜度從 $O(n)$ 降低為 $O(logn)$。

② 上述的樸素 $dp$ 合併方式的時間複雜度為 $O(n^2)$，這裡可以使用啟發式合併的方式，每次合併的時候都是 $size$ 較小的 $dp$ 合併至 $size$ 較大的 $dp$，時間複雜度從 $O(n^2)$ 降低為 $O(nlogn)$，不過這裡我們需要維護 $Set$ 等資料結構，時間複雜度為 $O(nlognlogn)$。

通過上述的優化，資料結構 $set$ 與 $map$ 優化的 $dp$ 配合啟發式合併，將時間複雜度減小到 $O(nlo{g}^{2}n)$，足以通過本題。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
 
inline int read()
{
    int s = 0, w = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
    {
        if (ch == '-')
            w = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return s * w;
}
 
const int MAXN = 2e5 + 10;
const int INF = 1e18;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const double PI = acos(-1.0);
 
int n, s;
 
struct Node
{
	int offset;
	map<int, int> mp;
	multiset<int> ms;
};
 
vector<Node> vec;
 
void update(Node &node, int y, int v)
{
	if (node.mp.count(y))
	{
		node.ms.erase(node.ms.find(node.mp[y]));
	}
	node.mp[y] = v;
	node.ms.insert(v);
}
 
signed main()
{
    n = read(), s = read();
    int skip = 0;
    vec.push_back({});
    vec.back().offset = 0;
    vec.back().mp[0] = 0;
    vec.back().ms.insert(0);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
    	string op;
    	int y, v;
    	cin >> op;
    	if (op[0] == 's')
    	{
    		y = read(), v = read();
    		if (skip) continue;
    		int minV = *vec.back().ms.begin() - v;
    		vec.back().offset += v;
    		if (y != s)
    		{
    			update(vec.back(), y, minV);
    		}
    	}
    	else if (op[0] == 'i')
    	{
    		y = read();
    		if (!skip && vec.back().mp.count(y))
    		{
    			int val = vec.back().mp[y] + vec.back().offset;
    			vec.back().ms.erase(vec.back().ms.find(vec.back().mp[y]));
    			vec.back().mp.erase(y);
    			vec.push_back({});
    			vec.back().offset = 0;
    			update(vec.back(), y, val);
    		}
    		else
    		{
    			skip++;
    		}
    	}
    	else
    	{
    		if (skip) skip--;
    		else
    		{
    			if (vec[vec.size() - 1].mp.size() > vec[vec.size() - 2].mp.size())
    			{
    				swap(vec[vec.size() - 1], vec[vec.size() - 2]);
    			}
    			auto &outer = vec[vec.size() - 2];
    			for (auto x : vec.back().mp)
    			{
    				if (!outer.mp.count(x.first) || (outer.offset + outer.mp[x.first] > vec.back().offset + x.second))
    				{
    					int val = vec.back().offset + x.second - outer.offset;
    					update(outer, x.first, val);
    				}
    			}
    			vec.pop_back();
    		}
    	}
    }
    cout << vec.back().offset + *vec.back().ms.begin() << endl;
    return 0;
}

【END】感謝觀看