機器學習中牛頓法凸最佳化的通俗解釋

我們知道，梯度下降演算法是利用梯度進行一階最佳化，而今天我介紹的牛頓最佳化演算法採用的是二階最佳化。本文將重點講解牛頓法的基本概念和推導過程，並將梯度下降與牛頓法做個比較。

1. 牛頓法求解方程的根

有時候，在方程比較複雜的情況下，使用一般方法求解它的根並不容易。牛頓法透過迭代的方式和不斷逼近的思想，可以近似求得方程較為準確的根。

牛頓法求根的核心思想是泰勒一階展開。例如對於方程 f(x) = 0，我們在任意一點 x0 處，進行一階泰勒展開：

令 f(x) = 0，帶入上式，即可得到：

注意，這裡使用了近似，得到的 x 並不是方程的根，只是近似解。但是，x 比 x0 更接近於方程的根。效果如下圖所示：

然後，利用迭代方法求解，以 x 為 x0，求解下一個距離方程的根更近的位置。迭代公式可以寫成：

經過一定次數的有效迭代後，一般都能保證在方程的根處收斂。下面給出整個迭代收斂過程的動態演示。

2. 牛頓法凸最佳化

上一部分介紹牛頓法如何求解方程的根，這一特性可以應用在凸函式的最佳化問題上。

機器學習、深度學習中，損失函式的最佳化問題一般是基於一階導數梯度下降的。現在，從另一個角度來看，想要讓損失函式最小化，這其實是一個最值問題，對應函式的一階導數 f'(x) = 0。也就是說，如果我們找到了能讓 f'(x) = 0 的點 x，損失函式取得最小值，也就實現了模型最佳化目標。

現在的目標是計算 f'(x) = 0 對應的 x，即 f'(x) = 0 的根。轉化為求根問題，就可以利用上一節的牛頓法了。

與上一節有所不同，首先，對 f(x) 在 x0 處進行二階泰勒展開：

上式成立的條件是 f(x) 近似等於 f(x0)。令 f(x) = f(x0)，並對 (x - x0) 求導，可得：

同樣，雖然 x 並不是最優解點，但是 x 比 x0 更接近f'(x) = 0 的根。這樣，就能得到最最佳化的迭代公式：

透過迭代公式，就能不斷地找到 f'(x) = 0 的近似根，從而也就實現了損失函式最小化的最佳化目標。

3. 梯度下降 VS 牛頓法

現在，分別寫出梯度下降和牛頓法的更新公式：

梯度下降演算法是將函式在 xn 位置進行一次函式近似，也就是一條直線。計算梯度，從而決定下一步最佳化的方向是梯度的反方向。而牛頓法是將函式在 xn 位置進行二階函式近似，也就是二次曲線。計算梯度和二階導數，從而決定下一步的最佳化方向。一階最佳化和二階最佳化的示意圖如下所示：

梯度下降：一階最佳化

牛頓法：二階最佳化

以上所說的是梯度下降和牛頓法的最佳化方式差異。那麼誰的最佳化效果更好呢？

首先，我們來看一下牛頓法的優點。第一，牛頓法的迭代更新公式中沒有引數學習因子，也就不需要透過交叉驗證選擇合適的學習因子了。第二，牛頓法被認為可以利用到曲線本身的資訊, 比梯度下降法更容易收斂（迭代更少次數）。如下圖是一個最小化一個目標方程的例子, 紅色曲線是利用牛頓法迭代求解, 綠色曲線是利用梯度下降法求解。顯然，牛頓法最最佳化速度更快一些。

然後，我們再來看一下牛頓法的缺點。我們注意到牛頓法迭代公式中除了需要求解一階導數之外，還要計算二階導數。從矩陣的角度來說，一階導數和二階導數分別對應雅可比矩陣（Jacobian matrix）和海森矩陣（Hessian matrix）。

Jacobian 矩陣

Hessian 矩陣

牛頓法不僅需要計算Hessian 矩陣，而且需要計算Hessian 矩陣的逆。當資料量比較少的時候，運算速度不會受到大的影響。但是，當資料量很大，特別在深度神經網路中，計算Hessian 矩陣和它的逆矩陣是非常耗時的。從整體效果來看，牛頓法最佳化速度沒有梯度下降演算法那麼快。所以，目前神經網路損失函式的最佳化策略大多都是基於梯度下降。

值得一提的是，針對牛頓法的缺點，目前已經有一些改進演算法。這類改進演算法統稱擬牛頓演算法。比較有代表性的是 BFGS 和 L-BFGS。

BFGS 演算法使用近似的方法來計算Hessian 矩陣的逆，有效地提高了運算速度。但是仍然需要將整個Hessian 近似逆矩陣儲存起來，空間成本較大。

L-BFGS 演算法是對BFGS 演算法的改進，不需要儲存 Hessian 近似逆矩陣， 而是直接透過迭代演算法獲取本輪的搜尋方向，空間成本大大降低。

總的來說，基於梯度下降的最佳化演算法，在實際應用中更加廣泛一些，例如 RMSprop、Adam等。但是，牛頓法的改進演算法，例如 BFGS、L-BFGS 也有其各自的特點，也有很強的實用性。

作者：紅色石頭Will
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