文章來自微信公眾號：【機器學習煉丹術】
1 作者前言
在2020年還在整理XGB的演算法，其實已經有點過時了。不過，主要是為了擴大知識面和應付面試嘛。現在的大資料競賽，XGB基本上已經全面被LGB模型取代了，這裡主要是學習一下Boost演算法。之前已經在其他博文中介紹了Adaboost演算法和Gradient-boost演算法，這篇文章講解一下XGBoost。
2 樹模型概述
XGB就是Extreme Gradient Boosting極限梯度提升模型。XGB簡單的說是一組分類和迴歸樹（CART）的組合。跟GBDT和Adaboost都有異曲同工之處。
【CART=classification adn regression trees】
這裡對於一個決策樹，如何分裂，如何選擇最優的分割點，其實就是一個搜尋的過程。搜尋怎麼分裂，才能讓目標函式最小。目標函式如下：
\(Obj = Loss + \Omega\)
\(Obj\)就是我們要最小化的優化函式，\(Loss\)就是這個CART模型的預測結果和真實值得損失。\(\Omega\)就是這個CART模型的複雜度,類似神經網路中的正則項。
【上面的公式就是一個抽象的概念。我們要知道的是：CART樹模型即要求預測儘可能準確，又要求樹模型不能過於複雜。】
對於迴歸問題，我們可以用均方差來作為Loss：
\(Loss=\sum_i{(y_i-\hat{y_i})^2}\)
對於分類問題，用交叉熵是非常常見的,這裡用二值交叉熵作為例子：
\(Loss = \sum_i{(y_ilog(\hat{y_i})+(1-y_i)log(\hat{y_i}))}\)
總之，這個Loss就是衡量模型預測準確度的損失。
下面看一下如何計算這個模型複雜度\(\Omega\)吧。
\(\Omega = \gamma T+\frac{1}{2} \lambda \sum^T_j{w_j}^2\)
\(T\)表示葉子節點的數量，\(w_j\)表示每個葉子節點上的權重（與葉子節點的樣本數量成正比）。
【這裡有點麻煩的在於，\(w_j\)是與每個葉子節點的樣本數量成正比，但是並非是樣本數量。這個\(w_j\)的求取，要依靠與對整個目標函式求導數，然後找到每個葉子節點的權重值\(w_j\)。】
3 XGB vs GBDT
其實說了這麼多，感覺XGB和GDBT好像區別不大啊？那是因為說了這麼多還沒開始說XGB呢！之前都是講樹模型的通用概念的。下面講解XGB~整理一下網上有的說法，再加上自己的理解。有錯誤請指出評論，謝謝！
3.1 區別1：自帶正則項
GDBT中，只是讓新的弱分類器來擬合負梯度，那擬合多少棵樹才算好呢？不知道。XGB的優化函式中，有一個\(\Omega\)複雜度。這個複雜度不是某一課CART的複雜度，而是XGB中所有CART的總複雜度。可想而知，每多一顆CART，這個複雜度就會增加他的懲罰力度，當損失下降小於複雜度上升的時候，XGB就停止了。
3.2 區別2：有二階導數資訊
GBDT中新的CART擬合的是負梯度，也就是一階導數。而在XGB會考慮二階導數的資訊。
這裡簡單推導一下XGB如何用上二階導數的資訊的：
-
之前我們得到了XGB的優化函式：
\(Obj = Loss + \Omega\) -
然後我們把Loss和Omega寫的更具體一點：
\(Obj = \sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}+\sum_j^t{\Omega(cart_j)}\)- \(\hat{y_i^t}\)表示總共有t個CART弱分類器，然後t個弱分類器給出樣本i的估計值就。
- \(y_i\)第i個樣本的真實值；
- \(\Omega(cart_j)\)第j個CART模型的複雜度。
-
我們現在要求取第t個CART模型的優化函式，所以目前我們只是知道前面t-1的模型。所以我們得到：
\(\hat{y}_i^t = \hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i)\)
t個CART模型的預測，等於前面t-1個CART模型的預測加上第t個模型的預測。 -
所以可以得到：
\(\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}=\sum_i^n{Loss(y_i,\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))}\)
這裡考慮一下特勒展開：
\(f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x + \frac{1}{2} f''(x)\Delta x^2\) -
如何把泰勒公式帶入呢？
\({Loss(y_i,\hat{y}_i^t)}\)中的\(y_i\)其實就是常數，不是變數
所以其實這個是可以看成\(Loss(\hat{y}_i^t)\),也就是:
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))\) -
帶入泰勒公式，把\(f_t(x_i)\)看成\(\Delta x\)：
\(Loss(\hat{y}_i^{t-1}+f_t(x_i))=Loss(\hat{y}_i^{t-1})+Loss'(\hat{y}_i^{t-1})f_t(x_i)+\frac{1}{2}Loss''(\hat{y}_i^{t-1})(f_t(x_i))^2\)- 在很多的文章中，會用\(g_i=Loss'(\hat{y}_i^{t-1})\),以及\(h_i=Loss''(\hat{y}_i^{t-1})\)來表示函式的一階導數和二階導數。
-
把泰勒展開的東西帶回到最開始的優化函式中，刪除掉常數項\(Loss(\hat{y}_i^{t-1})\)(這個與第t個CART模型無關呀)以及前面t-1個模型的複雜度，可以得到第t個CART的優化函式：
\(Obj^t \approx \sum_i^n{[g_i f_t(x_i)+\frac{1}{2}h_i(f_t(x_i))^2}]+{\Omega(cart_t)}\)
【所以XGB用到了二階導數的資訊，而GBDT只用了一階的梯度】
3.3 區別3：列抽樣
XGB借鑑了隨機森林的做法，不僅僅支援樣本抽樣，還支援特徵抽樣（列抽樣），不僅可以降低過擬合，還可以減少計算。（但是這一點我個人存疑，感覺這個只是程式碼給出的功能，並不算是XGB本身演算法相對GBDT的優勢。因為XGB和GBDT明明都可以用列抽樣的方法。總之，最關鍵的區別是二階導數那個和引入正則項）
4 XGB為什麼用二階導
這個是一個關於XGB的面試進階題。第一次看到這個問題的時候，一臉懵逼。
【先說自己總結的答案】
- 使用了二階導數的資訊，加快了收斂速度。
- 減少了計算量。
4.1 為什麼減少了計算量
這個比較理解，就先從這個開始解釋。
在GBDT中，最花費時間的就是計算分裂點，選擇哪個特徵，在哪個分割點進行分裂可以得到最小的loss。假設有5個特徵，每個特徵有100個潛在分割點，那麼分類一次需要計算500次。
\(loss(y,\hat{y}^t)\)像之前一樣，寫成之前所有已經訓練完成的弱分類器和正在訓練的分類器\(loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))\)
如果計算這個損失的話，我們需要計算500次的
\(loss(y,\hat{y}^{t-1}+f_t(x))\)
但是假設使用泰勒展開得到：
\(loss(\hat{y}^{t-1})+g*f_t(x)+\frac{1}{2}h(f_t(x))^2\)
其中的\(loss(\hat{y}^{t-1})\),\(g\),\(h\)都是僅僅與之前已經訓練完成的決策樹相關，所以就是常數，所以是可以在500次的計算中共享，計算一次足以。
4.2 為什麼加快收斂速度
這裡要回到泰勒展開那裡：
\(f(x+\Delta x) = f(x) + g(x) * \Delta x + \frac{1}{2} h(x) (\Delta x)^2\)
這個式子其實就可以看成是\(F(\Delta x)\),因為\(x\)可以看成一個常數。我們希望\(F(\Delta x)\)最小（也就是損失最小），所以我們對\(\Delta x\)求導數：
\(F'(\Delta x)=g(x)+h(x)\Delta x=0\)
導數為0，則是極小值（預設是凸函式）
\(\Delta x=-\frac{g(x)}{h(x)}\)，也就是說，更新的步長其實就是一階導數除以二階導數。
瞭解最優化演算法的朋友應該可以意識到，這個其實是跟牛頓法等價的。XGB每一次訓練一個新的基模型，其實就是再使用牛頓法來對損失函式進行最小值的優化與更新。
【小總結】
因此我個人認為，使用了二階資訊的XGB比使用了一階資訊的GBDT收斂速度快的原因，可以用牛頓法比梯度下降法收斂快來解釋。
【為什麼牛頓法收斂速度快】
其實這一塊我有些解釋不清楚了，因為我最優化演算法學的也不精（好像突然發現找不到工作的原因了2333）。能給出的是一個比較通俗的解釋： 從本質上去看，牛頓法是二階收斂，梯度下降是一階收斂，所以牛頓法就更快。如果更通俗地說的話，比如你想找一條最短的路徑走到一個盆地的最底部，梯度下降法每次只從你當前所處位置選一個坡度最大的方向走一步，牛頓法在選擇方向時，不僅會考慮坡度是否夠大，還會考慮你走了一步之後，坡度是否會變得更大。
5 牛頓法
這裡簡單介紹一下牛頓法是什麼。畢竟有的朋友可能沒學過，或者學過像我一樣忘記了。
【牛頓法的目的】
求解一個函式的根，也就是這個函式與x座標軸的交點。
這裡有一個三次曲線，我們初始點在A位置，然後做A位置的切線，可以發現這個切線相交於x軸。
然後這個焦點做一個平行於y軸的線，交於B點，然後B點做切線，然後交於x軸，然後......
然後迭代到C點
慢慢的，就逼近三次函式與x軸的交點，也就是三次函式等於0的根了。
【數學算式】
\(x_n\)點的切線方程：
\(f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)=0\)
所以很簡單得到：
\(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)
【為什麼這裡只用到了一階資訊？】
因為這裡的目的是求取一個函式的根，也就是函式等於0的根。我們在最優化問題中，求解的是一個函式的極小值，這就要求求取這個函式的導數等於0的根，所以在最優化問題中，是一個二階導數優化方法。
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