【小白學AI】隨機森林 全解 （從bagging到variance）

忽逢桃林發表於2020-08-20
AI隨機森林

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目錄

為什麼現在還要學習隨機森林？

隨機森林中仍有兩個未解之謎（對我來說）。隨機森林採用的bagging思想中怎麼得到的62.3% 以及 隨機森林和bagging的方法是否有區別。

隨機森林(Random Forest)就是通過整合學習的思想將多棵決策樹整合的一種演算法。基本單元是決策樹。隨機森林演算法的提出也是為了改善決策樹容易存在過擬合的情況。

1 隨機森林

習慣上，我們將眾多分類器(SVM、Logistic迴歸、決策樹等)所組成的“總的分類器”，叫做隨機森林。隨機森林有兩個關鍵詞，一個是“隨機”，一個是“森林”。森林就是成百上千棵樹，體現了整合的思想，隨機將會在下面總結到。

2 bagging

Bagging，其實就是bootstrap aggregating的縮寫, 兩者是等價的，其核心就是有放回抽樣。

【bagging具體步驟】

  1. 從大小為n的樣本集中有放回地重取樣選出n個樣本；（沒錯就是n個樣本抽取n個）
  2. 在所有屬性上，對這n個樣本建立分類器(ID3資訊增益、C4.5資訊增益率、CART基尼係數、SVM、Logistic迴歸等)
  3. 重複以上兩步m次，即獲得了m個分類器；
  4. 將預測資料放在這m個分類器上，最後根據這m個分類器的投票結果，決定資料屬於哪一類。

3 神祕的63.2%

一般被大家知曉的是：隨機森林中每一次取樣的比例是63.2%。 這個比例到底是怎麼確定的呢？

在某手的面試中，我被問到了這個相關的問題，奈何學藝不精，哎。後來苦苦研究15分鐘，終於得到答案，現在分享給大家。

bagging的最初的說法其實是：n個樣本從中有放回抽樣n次，這種條件下，勢必會有抽取到相同樣本的可能性，那麼抽取到不同樣本的期望值是多少呢？其實大家心裡可能會有答案了，沒錯就是0.632n。

我們假設\(U(k)\)表示第k次抽樣抽取到不同樣本的概率。那麼\(U(k-1)\)則表示第k-1次抽樣抽取到不同樣本的概率。

  • 第k-1次抽樣到不同樣本的概率：\(U(k-1)\)
  • 第k-1次抽樣時，有\(nU(k-1)\)個樣本還沒有被抽取
  • 第k次抽樣時，還有\(nU(k-1)-U(k-1)\)的樣本沒有抽取
  • 因此\(U(k)=\frac{n-1}{n}U(k-1)=(\frac{n-1}{n})^{k-1}U(1)\)
  • \(U(1)=1\),第一次抽樣的資料一定不會重複

因此k次放回抽樣的不同樣本的期望值為：
\(\sum^{k-1}_{i=1}{U(i)}=1+\frac{n-1}{n}+(\frac{n-1}{n})^2+…\)

利用等比數列的性質，得到：
\(\sum^{k-1}_{i=1}{U(i)}=(1-(\frac{n-1}{n})^k)n\)

當n足夠大，並且k=n的情況下，上面的公式等於

\[(1-(\frac{n-1}{n})^k)n=(1-\frac{1}{e})n\approx 0.632n \]

所以證明完畢，每一次bagging取樣重複抽取n次其實只有63.2%的樣本會被取樣到。

4 隨機森林 vs bagging

隨機森林(Random Forest)在Bagging基礎上進行了修改。 具體步驟可以總結如下:

  1. 從訓練樣本集中採用Bootstrap的方法有放回地重取樣選出n個樣本，即每棵樹的訓練資料集都是不同的 ，裡面包含重複的訓練樣本（這意味著隨機森林並不是按照bagging的0.632比例取樣 ）；

  2. 從所有屬性中有選擇地選出K個屬性，選擇最佳屬性作為節點建立CART決策樹；

  3. 重複以上步驟m次，即建立了m棵CART決策樹

  4. 這m個CART形成隨機森林，通過投票表決分類結果，決定資料是屬於哪一類。

隨機森林(Random Forest)的隨機性主要體現在兩方面，一方面是樣本隨機，另一方面是屬性隨機。樣本隨機的原因是如果樣本不隨機，每棵樹的訓練資料都一樣，那麼最終訓練出的分類結果也是完全一樣的。

5 投票策略

  1. 少數服從多數
  2. 一票否決
  3. 聽說還有貝葉斯平均的方法。但是我沒有過多瞭解。一般還是用少數服從多數的吧。

6 隨機森林的特點

6.1 優點

  1. 在當前的演算法中，具有極好的準確率
  2. 能夠執行在大資料上
  3. 能夠處理具有高維特徵的輸入樣本，不需要降維
  4. 能夠計算各個特徵的重要度
  5. 能夠防止過擬合

6.2 bias 與 variance

說到機器學習模型的誤差，主要就是bias和variance。

  • Bias：如果一個模型的訓練錯誤大，然後驗證錯誤和訓練錯誤都很大，那麼這個模型就是高bias。可能是因為欠擬合，也可能是因為模型是弱分類器。

  • Variance：模型的訓練錯誤小，但是驗證錯誤遠大於訓練錯誤，那麼這個模型就是高Variance，或者說它是過擬合。


這個圖中，左上角是低偏差低方差的，可以看到所有的預測值，都會落在靶心，完美模型；

右上角是高偏差，可以看到，雖然整體資料預測的好像都在中心，但是波動很大。

【高偏差vs高方差】
在機器學習中，因為偏差和方差不能兼顧，所以我們一般會選擇高偏差、低方差的左下角的模型。穩定性是最重要的，寧可所有的樣本都80%正確率，也不要部分樣本100%、部分50%的正確率。個人感覺，穩定性是學習到東西的體現，高方差模型與隨機蒙的有什麼區別？

6.3 隨機森林降低偏差證明

上面的可能有些抽象，這裡用RandomForest(RF)來作為例子：
隨機森林是bagging的整合模型，這裡：
\(RF(x)=\frac{1}{B}\sum^B_{i=1}{T_{i,z_i}(x)}\)

  • RF(x)表示隨機森林對樣本x的預測值；
  • B表示總共有B棵樹；
  • \(z_i\)表示第i棵樹所使用的訓練集，是使用bagging的方法，從所有訓練集中進行行取樣和列取樣得到的子資料集。

這裡所有的\(z\)，都是從所有資料集中隨機取樣的，所以可以理解為都是服從相同分佈的。所以不斷增加B的數量，增加隨機森林中樹的數量，是不會減小模型的偏差的。
【個人感覺，是因為不管訓練再多的樹，其實就那麼多資料，怎麼訓練都不會減少，這一點比較好理解】

【RF是如何降低偏差的？】
直觀上，使用多棵樹和bagging，是可以增加模型的穩定性的。怎麼證明的？

我們需要計算\(Var(T(x))\)

假設不同樹的\(z_i\)之間的相關係數為\(\rho\),然後每棵樹的方差都是\(\sigma^2\).

先複習一下兩個隨機變數相加的方差如何表示：
\(Var(aX+bY)=a^2 Var(X)+b^2 Var(Y) + 2ab cov(X,Y)\)

  • Cov(X,Y)表示X和Y的協方差。協方差和相關係數不一樣哦，要除以X和Y的標準差：
    \(\rho=\frac{cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)

下面轉成B個相關變數的方差計算，是矩陣的形式：

很好推導的，可以試一試。

這樣可以看出來了，RF的樹的數量越多，RF方差的第二項會不斷減小，但是第一項不變。也就是說，第一項就是RF模型偏差的下極限了。

【總結】

  • 增加決策樹的數量B，偏差不變；方差減小；
  • 增加決策樹深度，偏差減小；\(\rho\)減小，\(\sigma^2\)增加；
  • 增加bagging取樣比例，偏差減小；\(\rho\)增加，\(\sigma^2\)增加；

【bagging vs boost】
之前的文章也提到過了boost演算法。

GBDT中，在某種情況下，是不斷訓練之前模型的殘差，來達到降低bias的效果。雖然也是整合模型，但是可以想到，每一個GBDT中的樹，所學習的資料的分佈都是不同的，這意味著在GBDT模型的方差會隨著決策樹的數量增多，不斷地增加。

  • bagging的目的：降低方差；
  • boost的目的：降低偏差

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