SVM現在主流的有兩個方法。一個是傳統的推導，計算支援向量求解的方法，一個是近幾年興起的梯度下降的方法。 梯度下降方法的核心是使用了hinge loss作為損失函式，所以最近也有人提出的深度SVM其實就是使用hinge loss的神經網路。
本文的目的是講解傳統的推導。
SVM的超平面
SVM模型的基本原理，就是尋找一個合適的超平面，把兩類的樣本正確分開。單個SVM只能處理二分類，多分類需要多個SVM。
【什麼是超平面？】
超平面就是n維度空間的n-1維度的子空間。換成人話就是2維空間中的1維度的線，三維立體空間的二維平面。
圖中總共有5個超平面，那麼哪一個是最好的呢？我們認為中間的那個是最好的。因為他對兩側的間隔較大。
SVM基本型
超平面我們可以用這個方程來表示：
\(\bm{w^Tx}+b=0\)
空間中任意一個點x到這個超平面的垂直距離為：
\(d = \frac{|\bm{w^Tx}+b|}{||\bm{w}||}\)
這裡不得不提到一下邏輯迴歸，對於邏輯迴歸來說：
就是在超平面一側的樣本，邏輯迴歸給出的預測類別是1，另外一側就是0.
但是SVM覺得這樣有一些過於絕對了，所以：
不僅僅要一個樣本在平面的一側，還要在平面的這一側足夠遠的地方，才能算作某一類的樣本。
從圖中可以看到，兩條虛線之外的點，才是SVM能確定是正樣本還是負樣本的點。
【什麼是支援向量？】
圖中距離超平面最近的幾個訓練樣本，並且這幾個訓練樣本可以讓上式的等號成立。這個點就是支援向量。
【什麼是SVM的間隔】
兩個不同類別的支援向量到超平面的最小距離之和。其實也就是\(\frac{2}{||w||}\)
到這裡，我們可以隱隱約約的發現，尋找最優的超平面其實等價於尋找一個最大的間隔，或者說讓間隔最大化。所以可以得到：
\(\max_{w,b} \frac{2}{||\bm{w}||}\)
這個的約束條件就是：讓SVM給正樣本的打分大於1，給負樣本的打分小於-1,也就是：
簡化一下這個約束條件，可以得到：
\(y_i(\bm{w^Tx_i}+b)>=1\)
一般我們都是求取最小化問題，所以把最大化max問題取倒數，變成最小化問題：
\(\min_{w,b} \frac{||\bm{w}||}{2}\)
這裡為了後續的計算方便，最小化\(||w||\)等價於最小化\(||w||^2\),所以得到：
\(\min_{w,b} \frac{||\bm{w}||^2}{2}\)
總之SVM的基本型就是:
SVM求解
現在求得了基本型。現在可以來進一步優化這個最小化問題。但是首當其衝的問題便是，如何處理這個約束條件。這裡用到的方法是拉格朗日乘子法。將約束條件以\(\alpha_i\)的權重加入到優化問題中，所以可以得到：
\(Loss(\bm{w},b,\bm{\alpha})=\frac{1}{2}||w||^2+\sum^m_{i=1}\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))\)
- 這裡的loss就是我們要最小化的物件；
- 這裡的m就是支援向量的數量。
為了最小化這個問題，對w和b求偏導數，可以得到：
\(w = \sum^m_{i=1}{\alpha_iy_ix_i}\)
\(0 = \sum^m_{i=1}{\alpha_iy_i}\)
然後把這兩個公式代入到：
\(Loss(\bm{w},b,\bm{\alpha})=\frac{1}{2}||w||^2+\sum^m_{i=1}\alpha_i(1-y_i(w^Tx_i+b))\)
可以消掉w和b，得到：
約束條件為：
從而根據這個計算出\(\alpha_i\)的取值，然後得到w和b的取值。
【到底如何求解\(\alpha\)?】
上面說的最後一部求解alpha，都是理論可以求解，但是實際中如何做到呢？其實這裡如何求解\(\alpha\)要用到另外一個條件。
就是上述過程要滿足一個叫做KKT的條件（KKT具體是什麼有點複雜，就不多說了）：
- 想要第三個公式成立，要麼\(\alpha_i\)等於0，要麼\(y_if(x_i)-1=0\).如果alpha=0，那麼意味著這個樣本不是支援向量，不應該對SVM超平面起到任何影響，所以是不可能的。所以只有\(y_if(x_i)-1=0\)。
加上了這個條件，我們可以求解出來\(\alpha_i\)的具體數值，然後求解w和b的數值。
假設有3個支援向量，那麼就會有三個\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) ,然後根據\(y_if(x_i)-1=0\)可以列出3個關於\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)的三元一次方程組，然後得到唯一解。