由函式的解析式給出函式的性質 | 你想到了嗎

前情概要

按理說，在高三數學的學習中，我們不斷的出錯，不停的改錯，也在不停的進步，更為重要的是，我們的數學素養要跟著提升才是 . 比如透過函式的學習，我們應該有這樣的共識，題目一旦給定函式的圖象，我們從圖象就能完整解讀這個函式的所有性質，換言之，這是將函式的性質以形的形式給出來了；那麼題目一旦給定解析式，我們從解析式也能完整解讀這個函式的所有性質[只是沒有從形上研究那麼直接和直觀，費點事我們也一定能研究出來]，換言之，這是將函式的性質以數的形式給出來了；但我們往往想不到從解析式入手分析研究函式的性質 .

典例剖析

⚠️ 藉助函式的解析式給出函式的定義域、單調性、奇偶性等

【榆林模擬】函式\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，則不等式\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)的解集是【\(\qquad\)】

$A.(\sqrt{3},2)$ $B.(-3,2)$ $C.(1,2)$ $D.(\sqrt{3},\sqrt{5})$

分析：這類題目往往需要取得符號 \(f\)，而在此之前，需要轉化為 \(f(M)<f(N)\) 或 \(f(M)>f(N)\) 的形式，然後利用定義域和單調性去掉對應法則符號，就轉化為了一般的不等式組了。

解析：先求定義域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定義域\((-1，1)\)；

再求奇偶性，由於\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，

所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函式為奇函式；最後分析單調性，

法一，基本函式法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由於\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)為增函式，

所以函式\(g(x)\)為增函式，故函式\(f(x)=g(x)+sinx\)為\((-1，1)\)上的增函式，

法二，導數法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函式\(f(x)\)為\((-1，1)\)上的增函式，

到此需要的性質基本備齊了[定義域，單調性，奇偶性]，

由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，

變換得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，

由定義域和單調性得到以下不等式組：\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，

解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故選 \(A\) .

⚠️ 藉助函式的解析式給出函式的對稱性等

【2025屆高三數學訓練題】已知等差數列 \(\{a_{n}\}\) 中，\(a_9\)\(=\)\(\cfrac{3\pi}{8}\)，設函式 \(f(x)\)\(=\)\((4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)\)\(\sin\)\(x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)，記 \(y_n\)\(=\)\(f(a_n)\)，則數列 \(\{y_{n}\}\) 的前 \(17\) 項之和 \(S_{17}\) 為 【\(\qquad\)】

$A.9$ $B.17$ $C.26$ $D.34$

解：首先化簡函式，\(f(x)\)\(=\)\((4\cos^2\cfrac{x}{2}-2)\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)

\(=\)\(2(\cos^2\cfrac{x}{2}-1)\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)\(=\)\(2\cos x\)\(\cdot\)\(\sin x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)

\(=\)\(\sin2x\)\(+\)\(\cos2x\)\(+\)\(2\)\(=\)\(\sqrt{2}\)\(\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)\(+\)\(2\)，

由於函式 \(y=\sin x\) 的對稱中心為 \((k\pi,0)\)，\(k\in \Z\)，則函式 \(f(x)=\)\(\sqrt{2}\)\(\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)\(+\)\(2\) 的對稱中心為 \((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{8},2)\)，\(k\in \Z\)，即 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\) 是函式 \(f(x)\) 的一個對稱中心^[1]，即 \(f(\cfrac{3\pi}{8})=2\)，也即就是 \(f(\cfrac{3\pi}{8})=f(a_9)=y_{9}=2\)，

再由 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\) 是函式 \(f(x)\) 的一個對稱中心，可知函式 \(f(x)\) 必然滿足條件 \(f(x)+f(\cfrac{6\pi}{8}-x)=4\)，

又由於給定數列 \(\{a_{n}\}\) 為等差數列，且\(a_9\)\(=\)\(\cfrac{3\pi}{8}\)，則 \(a_1+a_{17}=2a_{9}=\cfrac{6\pi}{8}\)，\(a_{17}=\cfrac{6\pi}{8}-a_{1}\)

故有 \(f(a_1)+f(a_{17})=4\)，同理 \(f(a_2)+f(a_{16})=4\)， \(f(a_3)+f(a_{15})=4\)，\(\cdots\)，

即 \(y_1+y_{17}=4\)，\(y_2+y_{16}=4\)，\(y_3+y_{15}=4\)，\(\cdots\)，

則 \(S_{17}=(y_1+y_{17})+(y_2+y_{16})+\cdots+y_{9}\)

\(=[f(a_1)+f(a_{17})]+[f(a_2)+f(a_{16})]+\cdots+f(a_9)=8\times4+2=34\)，故選 \(D\) .

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1. 由上述計算可知，函式 \(f(x)\) 的對稱中心有無窮多個，但此處我們只使用其中一個 \((\cfrac{3\pi}{8},2)\)，目的是和已知的條件 \(a_9\) 建立關聯。本題目就是一個典型的由解析式給出函式性質的案例。 ↩︎